Лінійних кіл на основі швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики застосування швидкого перетворення Фур’є (БПФ) для операторного аналізу лінійних кіл.

 

Теоретичні відомості

 

Операторний метод аналізу лінійних кіл при вхідній дії у вигляді включення у момент часу сигналу складної форми містить наступні процедури.

1. Знаходження зображення за Лапласом вхідного сигналу :

.

2. Визначення передавальної функції досліджуваного кола:

,

де - зображення за Лапласом вихідного сигналу.

3. Знаходження зображення вихідного сигналу по передавальній функції і зображенню вхідного сигналу:

.

4. Розрахунок за зображенням вихідного сигналу його залежності від часу за допомогою зворотного перетворення Лапласа:

.

Тут L, L^-1 – оператори прямого і зворотного перетворень Лапласа, формули (4.3), (4.5).

На практиці перетворення Лапласа здійснюють чисельно з використанням БПФ, що реалізовує формули (4.6), (4.7) ДПФ|.

Передавальні функції визначаються методами теорії лінійних кіл по схемі досліджуваного кола, в якому миттєві значення струмів і напруги замінено їх зображеннями по Лапласу і , а котушки індуктивності і конденсатори відповідно до закону Ома представлені їх операторними опорами:

Тут - операторний опір котушки індуктивності з індуктивністю L, - операторний опір конденсатора з місткістю С.

Якщо відомо комплексний коефіцієнт передачі кола, то передавальна функція виходить з шляхом простої заміни частоти на комплексну частоту .

Важливими характеристиками кола є перехідна і імпульсна характеристики. Перехідна характеристика – це реакція кола на одиничну ступінчасту функцію (функцію Хевісайда):

(5.1)

Зображення по Лапласу цієї функції:

. (5.2)

За відомою передавальною функцією кола перехідна характеристика визначається таким чином:

. (5.3)

Імпульсна характеристика – це реакція кола на імпульсну функцію (дельта – функцію Дираку) , що задовольняє умові

.

Зображення по Лапласу цієї функції:

. (5.4)

За відомою передавальною функцією кола імпульсна характеристика визначається таким чином:

. (5.5)

Якщо відомо імпульсну характеристику кола, то реакція кола на сигнал довільної форми може бути знайдена за допомогою інтеграла згортки:

. (5.6)

У дискретній формі інтеграл згортки записується у вигляді:

. (5.7)

Тут, - дискретні значення вхідного сигналу і імпульсної характеристики, узяті з кроком квантування .

При виконанні операторного аналізу за допомогою функцій БПФ fft і ifft слід задати інтервал [0,T] дискретизації сигналу і точність розрахунку ε. Для усунення коливального характеру зміни сигналу на кінці інтервалу дискретизації, яке пов'язане з виникаючою погрішністю розрахунків при переході від аналогових функцій до дискретних, слід інтервал дискретизації збільшити до . По значеннях ε і обчислити константу і крок квантування Δt:

(5.8)

(5.9)

де N – об'єм вибірки. Отримані результати розрахунків розглядати на інтервалі [0,T].

 

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою БПФ операторний аналіз кола, заданого в лабораторній роботі №2, при дії одиничної ступінчастої функції (5.1) і одиночного імпульсного сигналу, заданого в лабораторній роботі №1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0, Т].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Визначити за формулами (5.8), (5.9) постійну загасання σ і крок квантування.

2. Скласти передавальну функцію кола.

3. Розрахувати відповідно до формули (5.3) перехідну характеристику кола, використовуючи функцію зворотного БПФ. Побудувати графіки одиничної ступінчастої функції і перехідної характеристики для інтервалів і [0,T].

4. За допомогою БПФ розрахувати реакцію кола на сигнал, форма якого задана в лабораторній роботі №1. Побудувати графіки вхідного і вихідного сигналів в інтервалі [0,T].

5. За допомогою БПФ розрахувати відповідно до формули (5.5) імпульсну характеристику кола.

6. По вхідному сигналу і імпульсній характеристиці кола, представлених в дискретній формі, за допомогою формули (5.7) дискретною згорткою визначити вихідний сигнал. Побудувати графік вихідного сигналу в інтервалі [0,T].

При складанні програми операторного аналізу кола можна скористатися фрагментами програми використання функцій БПФ на прикладі аналізу реакції кола на прямокутний імпульс.

 

Моделювання перехідної характеристики кола

 

 

 

 

 

 

 

Операторний аналіз проходження сигналу крізь коло

 

 

 

 

Аналіз проходження сигналу крізь коло за допомогою інтеграла згортки

1 Розрахунок імпульсної характеристики кола

 

 

 

 

 

 

 

Розрахунок реакції кола на вхідний сигнал

 

 

 

 

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2. Графіки з результатами розрахунку перехідної характеристики кола для інтервалів і [0, T].

3. Графік вхідного сигналу і графік з результатами розрахунку вихідного сигналу операторним методом.

4. Графік вихідного сигналу, розрахований за допомогою інтеграла згортки.

5. Висновки по виконаній роботі.

 

Контрольні питання

1. Пояснити алгоритм операторного методу аналізу лінійних кіл.

2. Отримайте зображення по Лапласу одиничної ступінчастої функції (функції Хевісайда).

3. Отримайте зображення по Лапласу імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

4. Основні властивості імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

5. Дайте визначення перехідної характеристики. Зв'язок перехідної характеристики з передавальною функцією кола.

6. Дайте визначення імпульсної характеристики. Зв'язок імпульсної характеристики з передавальною функцією кола.

7. Запишіть і поясніть формулу згортки для аналогового сигналу.

8. Запишіть і поясніть формулу згортки для дискретного сигналу.

9. Пояснити, як визначається постійна σ і інтервал дискретизації сигналу.

10. Пояснити, як розраховується крок дискретизації при використанні БПФ.

 

Лабораторна робота № 6