Дослідження сигналів з використанням швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики спектрального аналізу і синтезу сигналів за допомогою швидкого перетворення Фур’є

 

Теоретичні відомості

 

Швидке перетворення Фур’є (БПФ) засноване на дискретному перетворенні Фур’є (ДПФ|). Дискретне перетворення застосовується до дискретних сигналів. Дискретний сигнал отримують з аналогового сигналу шляхом квантування його в часі з кроком . Для прикладу на рис.3.1,а зображений аналоговий сигнал, а на рис.3.1,б відповідний йому дискретний сигнал, Т – період сигналу.

Дискретний сигнал можна представити динамічною моделлю:

, (3.1)

де - число дискретних значень сигналу на періоді,

- імпульсна функція (дельта-функція Дираку).

Розкладемо сигнал (3.1) в комплексний ряд Фур’є

. (3.2)

Для моменту часу :

. (3.3)

а)

б)

Рисунок 3.1

 

Коефіцієнти у формулі (3.2) обчислюються таким чином:

. (3.4)

Підставимо в дану формулу ряд (3.1) і виконаємо перетворення, помінявши місцями інтеграцію і підсумовування. Замінимо змінну інтеграції і врахуємо властивості імпульсної функції, що фільтрують. В результаті отримаємо:

. (3.5)

Формули (3.3), (3.5) є дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ|). Ці формули зазвичай записують в симетричній формі щодо числа N дискретних значень сигналу:

, (3.6)

, (3.7)

де .

Розрахунок за формулами (3.6), (3.7) вимагає операцій, що складаються з множення двох комплексних чисел з подальшим складанням. Якщо число N розкласти на множники і виконувати дії над групами елементів, то можна істотно скоротити число операцій. Найбільший ефект досягається при представленні числа N ступенем числа 2. Відповідні цьому уявленню алгоритми обчислень за формулами (3.6), (3.7) називаються швидким перетворенням Фур’є (БПФ) і вимагають всього операцій.

Алгоритм прямого БПФ реалізовано у функції fft(v) (Fast Fourier Trasform – швидке перетворення Фур’є). Аргументом функції є вектор v, представлений дійсними числами (дискретними значеннями сигналу), кількість яких повинна бути рівною, де р – ціле число. Результат роботи функції – вектор, складений з комплексних амплітуд гармонік спектру сигналу. Довжина вектора . Таким чином, довжина вихідного вектора в два рази менше вхідного.

Алгоритм зворотного БПФ реалізовано у функції ifft(w). Аргументом функції є вектор w, представлений комплексними гармоніками спектру сигналу, кількість яких повинна бути рівною, де р – ціле число. Результат роботи функції – вектор, складений з дійсних чисел, відповідних дискретним значенням сигналу, синтезованого за його спектром. Довжина вектора . Таким чином, довжина вихідного вектора в два рази більше вхідного.

 

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою ДПФ| і БПФ спектральний аналіз і синтез періодичного імпульсного сигналу, заданого в лабораторній роботі № 1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0, T].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Перетворити заданий аналоговий сигнал в дискретний, узявши вибірку об'єму, , р=6.
2. Визначити комплексні амплітуди гармонік спектру сигналу за допомогою функції прямого БПФ. Знайти число М гармонік спектру. Побудувати графіки амплітудно-| і фазо-| частотного спектру сигналу.
3. Для числа гармонік М по формулі (3.6) прямого ДПФ| визначити спектр сигналу і порівняти з даними п.1.
4. Виконати за допомогою функції зворотного БПФ синтез сигналу по його спектру. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.
5. Для числа гармонік М з п.3 по формулі (3.6) зворотного ДПФ| синтезувати сигнал. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.

При складанні програми спектрального аналізу і синтезу можна скористатися фрагментами програми дослідження функцій ДПФ| і БПФ на прикладі періодичної послідовності прямокутних імпульсів.

 

Дискретизація сигналу.

 

 

Аналіз спектру сигналу за допомогою БПФ

 

 

 

 

Аналіз спектру сигналу за допомогою ДПФ|

 

 

 

 

 

 

Синтез сигналу за його спектром за допомогою БПФ

 

 

 

 

 

Синтез сигналу за його спектром за допомогою ДПФ|

 

 

 

 

Зміст звіту

1 Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2 Графіки з результатами розрахунку амплітуд і фаз гармонік спектру сигналу, отриманих за допомогою БПФ і ДПФ| для числа відліків .

3 Графіки початкового і синтезованого сигналів, отриманих за допомогою БПФ і ДПФ|.

4 Висновки по виконаній роботі.

 

Контрольні питання

1 Визначення аналогового і дискретного сигналу.

2 Складання динамічної моделі сигналу.

3 Властивості імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

4 Визначення дискретних значень часу і частоти.

5 Формула розкладання сигналу в дискретний ряд Фур’є.

6 Як обчислюються комплексні амплітуди спектру сигналу при ДПФ|?

7 Число операцій в ДПФ| і БПФ.

8 Число відліків значень сигналу на періоді для БПФ.

9 Функція прямого БПФ, ім'я функції, розмірності вхідного і вихідного векторів.

10 Функція зворотного БПФ, ім'я функції, розмірності вхідного і вихідного векторів.

 

 

Лабораторна робота №4

Операторний метод аналізу