Сигналів на основі швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики застосування швидкого перетворення Фур’є (БПФ) для операторного аналізу сигналів.

 

Теоретичні відомості

 

Операторний метод аналізу заснований на аналізі сигналів і лінійних кіл за допомогою інтегральних перетворень Лапласа. Перетворення Лапласа є узагальненням інтегральних перетворень Фур’є і застосовуються для сигналів, визначених для моментів часу, які більше нуля:

(4.1)

де - одинична ступінчаста функція (функція Хевісайда).

Перетворення Лапласа виходять з перетворень Фур’є при введенні експоненціальної функції, затухаючої на нескінченності:

, (4.2)

де у – позитивне число.

Для функції (4.2) пряме інтегральне перетворення Фур’є запишеться у вигляді:

, (4.3)

де - комплексна частота.

З формули зворотного перетворення Фур’є виходить:

. (4.4)

Звідси

. (4.5)

Перетворення Лапласа, представлені формулами (4.3), (4.5), можна перетворити у дискретну форму, використовуючи формули (3.6), (3.7) дискретного перетворення Фур’є. З порівняння цих формул витікають співвідношення для дискретного перетворення Лапласа:

, (4.6)

, (4.7)

де – крок квантування.

Для розрахунків за формулами (4.6), (4.7) з використанням функцій БПФ fft і ifft слід задати інтервал [0,T] дискретизації сигналу і точність розрахунку ε. За значеннями ε і Т обчислити константу і крок квантування Δt:

, (4.8)

, (4.9)

де , р – ціле число.

 

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою БПФ операторний аналіз і синтез аналогового імпульсного періодичного сигналу, заданого у лабораторній роботі № 1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0,Т ].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Визначити по формулі (4.8) постійну загасання σ.

2. Перетворити заданий аналоговий сигнал відповідно до формули (4.2) і представити його в дискретній формі, узявши вибірку об'єму . Побудувати графіки початкового і перетвореного сигналу.

3. Визначити комплексні амплітуди гармонік спектру перетвореного сигналу за допомогою функції прямого БПФ. Знайти число М гармонік спектру. Побудувати графіки амплитудно- і фазо| - частотного спектру сигналу.

4. Виконати за допомогою функції зворотного БПФ синтез перетвореного сигналу за його спектром. Відновити по формулі (4.6) початковий сигнал за перетвореним. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.

При складанні програми операторного аналізу і синтезу можна скористатися фрагментами програми використання функцій БПФ на прикладі прямокутного імпульсу.

 

Дискретизація сигналу

 

 

 

 

Розрахунок спектру перетвореного сигналу

 

 

 

 

 

Синтез перетвореного сигналу за його спектром

і відновлення форми сигналу

 

 

 

 

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2. Графіки початкового і перетвореного сигналів.

3. Графіки з результатами розрахунку амплітуд і фаз гармонік спектру перетвореного сигналу.

4. Графіки початкового і синтезованого сигналів.

5. Висновки по виконаній роботі.

 

Контрольні питання

1. Для яких сигналів застосовується інтегральне перетворення Лапласа?

2. Визначення одиничної ступінчастої функції (функції Хевісайда).

3. Визначення комплексної частоти.

4. Яке перетворення необхідно здійснити з сигналом, щоб застосувати перетворення Лапласа?

5. Формули прямого і зворотного перетворень Лапласа.

6. Дискретна форма прямого і зворотного перетворень Лапласа на основі дискретного перетворення Фур’є.

7. Як визначити константу у комплексної частоти?

8. Як вибрати число відліків значень сигналу БПФ?

9. Функції прямого і зворотного БПФ, ім'я функцій, розмірності вхідного і вихідного векторів.

10. Як відновити початковий сигнал за наслідками зворотного перетворення Лапласа на основі зворотного БПФ?

 

Лабораторна робота № 5

Операторний метод аналізу