Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Понятие производной функции.
Определение: Производной функции в точке называется предел Очень удобна более короткая запись для этого предела и более короткое обозначение для производной . БИЛЕТ 27. Алгебраические свойства дифференцируемых функций. Теорема: Если функции и имеют производные, то 1) . 2) . 3) ( постоянная). 4) .
Доказательство: По теореме об арифметике пределов функций, по определению производной и формулам: , и имеем:
1). .
2). = = = + + + = = , так как множители и не зависят от и при являются постоянными, а , поскольку имеет производную и потому непрерывна.
3). (так как ). 4). = .
БИЛЕТ 28. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производная сложной функции. Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке . Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке. (\/) -бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0: .Разделим равенство (\/) на : F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу . окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. ( и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .
Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой. z-независимая переменная, y-зависит от x Если y=f(x), то БИЛЕТ 29. Теорема Ферма. Теорема Ферма (необходимое условие extr): Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’()=0.
Доказательство. Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение
переходя в этих интервалах к пределу, получим
Замечание. Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.
Геометрический смысл теоремы. В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.
БИЛЕТ 30. Теорема Ролля. Теорема Ролля: Пусть функция y= : 1) непрерывна на отрезке [a,b]; 2) дифференцируема (a,b); 3) f(a)=f(b), тогда
Доказательство. Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая. 1) и 2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма
Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ). БИЛЕТ 31. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(x) -непрерывна на отрезке [a,b]; -дифференцируема на интервале (a,b); Тогда (формула конечных приращений)
Доказательство. Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)
Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций)
Геометрический смысл. В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде). Следствие. Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.
Доказательство. Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2). БИЛЕТ 32. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Теорема Коши. Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b) 1) и g(x) непрерывны на [a,b]; 2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда Доказательство. Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия
. Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.
Следствие. Теорема Лагранжа. Если ,то . БИЛЕТ 33. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенности вида .Пусть и g(x) определены в окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а и . И пусть в окрестности точки а существуют . Если существует , то и эти пределы равны. Доказательство. 1) а - конечное число. Доопределим функции и g(x) в точке х=а, по непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение . Здесь (использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при (т.к и если , то ). 2) надо сделать замену, x=1/t, тогда , и правило применяется к новой функции . Теорема 2. Пусть и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а и .Если , то и они равны. Замечание. В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы .
-теорема 1 доказана. -теорема 2 формулировка. . Пример, когда нельзя применять правило Лопиталя . Вычислим предел отношения производных он не существует, т.к. не существует предел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя. Вычислить. БИЛЕТ 34. Формула Тейлора. Формула Тейлора. Пусть функция дифференцируема в точке , тогда , где -бесконечно малая более высокого порядка чем . , где линейная функция, причем . Можно расписать, что , т.е в окрестности точки функция f(x) ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами: Многочлен будем писать в виде первые равенства получаются путем дифференцирования формулы для и подстановки . Вторые равенства - это требуемые свойства .f(x) у которого существует производная до n порядка включительно можно найти коэффициенты Многочлен , , многочлен Тейлора для функции f(x). Обозначим Рассмотрим функцию и вычислим Т.о получим , остаточный член формулы Тейлора. Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда , где
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 341; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.156.140 (0.046 с.) |