Доказательство: (метод деления пополам). 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Доказательство: (метод деления пополам).



I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная .

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезке содержится бесконечное число элементов .

Тогда , .

2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

 

II). Выбор подпоследовательности

 

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

 

Докажем, что .

 
 


0 ().

.

 

БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.

 

Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).

 

1) Необходимость: (=>).

 

Пусть . Возьмем произвольный Тогда .

. Обозначим , тогда

.

фундаментальна.

 

2) Достаточность: (<=).

 

1. фундаментальна => ограниченная .

Возьмем , , тогда .

Обозначим . .

ограничена.

 

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся. Обозначим

 

3. Докажем, что

 

Возьмем произвольный . фундаментальная => .

 

Обозначим и выберем

1) k>K

2)

Тогда .

. То есть

 

БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.

 

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

 

Определение 1 (Гейне): , если , ,

Замечание:

 

Определение 2 (Коши): , если .

.

Замечание: , то есть .

 

Теорема: Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем . .

Возьмем произвольную = => .

Обозначим . Тогда 0< .

 

Т.обр.

., то есть

 

 

 

БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.

 

Теорема: Пусть и , тогда .

Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , :

.

.

Возьмем Тогда .

Теорема: Пусть , и . Тогда

Возьмем произвольный , , , причем .

(по теореме о предельном переходе в неравенство) .

Теорема: Пусть , и

. Тогда существует . Возьмем произв. ,

, , причем

сущ. .

Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : .

Доказательство:

.

Возьмем , тогда

, , .

 

БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.

Теорема: Если существуют и , то:

1). .

2). = ( - постоянная).

3). * .

4). , если .

Доказательства:

Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как = . Поэтому в силу равенства = получим:

 

1). = .

2). = =

3). = * .

4). = .

 

БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.

 

Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим

или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.

 

Докажем, что

() при

А раз и , то .

 

Кроме того: = 1

 

 


БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.

 

.

На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:

 

1/2 1/3 1/4 0.01 0.001
2.25 2.37… 2.44… 2.7047… 2.7169…

Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.

 

Доказательство:

Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда:

По определению Гейне:

=

=

Вычислим . Рассмотрим = = .

 

По определению Гейне рассмотрим .

*

 

 

То есть = = = .

 

Также = = = =

 

1

 

БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.

 

Определение: бесконечно малая функция при , если .

Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда:

1) и эквивалентны при ( ~ , ), если .

2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .

( = (), ), если .

4). имеет -й порядок малости относительно при , если .

5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .

 

Примеры:

1). при .

2). (, -бесконечные малости одного порядка).

3). ( )

1 0

4).

()- 2-й порядок малости относительно при .

 

5).

- произвольная.

БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквива­лентные.

 

Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.

Теорема (критерий эквивалентности):

Пусть , -бесконечно малые функции при .

- . Тогда ~ при .

 

Доказательства:

(). Пусть ~ , , то есть .

=0,

то есть .

 

(). ., .

=1.

 

Теорема (о замене на эквивалентные):

Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.

 

= * * = .

       
   


1 1

 

БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства не­прерывных функций.

Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .

Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .

Определение 3: Функция непрерывна в точке , если

.

Свойства непрерывных функций:

 

Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .

 

Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда

. .

 

Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:

1). непрерывна в точке .

2). непрерывно в точке .

3). Если , то непрерывно в точке .

 

 

БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.

 

Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .

 

Доказательство:

Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (1)

А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что

для любого , такого, что . (2)

Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.

 

 

БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.

 

Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной.

Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо .

Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:

- непрерывна в точке .

Пример: .

, - точка устранимого разрыва .

Если не существует, то -точка неустранимого

разрыва .

Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда:

1) если существует , то .

2) если , то -точка разрыва функции 1-го рода.

3) если , то -точка разрыва функции 2-го рода.

Примеры:

1). .

,

- точка разрыва 1-го рода.

2). .

,

- точка разрыва 2-го рода.

3).

 

,

- точка разрыва 2-го рода.

4).



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 382; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.97.37 (0.221 с.)