Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Доказательство: (метод деления пополам).
I). Проведем построение системы отрезков. ограниченная . Рассмотрим точку - середину отрезка . 1) В отрезке содержится бесконечное число элементов . Тогда , . 2) В противном случае , , -содержит бесконечное число элементов . Рассмотрим точку - середину и так далее. 1. 2. в содержится бесконечное число элементов . 3. .
II). Выбор подпоследовательности
По лемме о вложенных отрезках: 1) произвольный элемент из 2) элемент из : …………………………………………………. k) элемент из :
Докажем, что .
0 (). .
БИЛЕТ 11. Критерий Коши сходимости последовательности.
Теорема (критерий Коши): Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна. Замечание: Условие необходимости (=>), условие достаточности (<=), критерий- условие необходимости и достаточности (<=>).
1) Необходимость: (=>).
Пусть . Возьмем произвольный Тогда . . Обозначим , тогда . фундаментальна.
2) Достаточность: (<=).
1. фундаментальна => ограниченная . Возьмем , , тогда . Обозначим . . ограничена.
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса. ограниченная => - сходящаяся. Обозначим
3. Докажем, что
Возьмем произвольный . фундаментальная => .
Обозначим и выберем 1) k>K 2) Тогда . . То есть
БИЛЕТ 12. Два определения предела функции. Эквивалентность определений.
Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.
Определение 1 (Гейне): , если , , Замечание:
Определение 2 (Коши): , если . . Замечание: , то есть .
Теорема: Определение 1 <=> Определение 2. Имеем . . Возьмем произвольную = => . Обозначим . Тогда 0< .
Т.обр.
., то есть
БИЛЕТ 13. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема: Пусть и , тогда . Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда , : . . Возьмем Тогда .
Теорема: Пусть , и . Тогда Возьмем произвольный , , , причем . (по теореме о предельном переходе в неравенство) . Теорема: Пусть , и . Тогда существует . Возьмем произв. , , , причем сущ. . Теорема (об отделимости от нуля): Пусть , : . Доказательство: . Возьмем , тогда , , .
БИЛЕТ 14. Теорема об арифметике пределов функций.
Теорема: Если существуют и , то: 1). . 2). = ( - постоянная). 3). * . 4). , если . Доказательства: Доопределив по непрерывности функции и в точке , положив = и = (это изменение функций не влияет на их пределы). В точке будут непрерывны функции , , , (так как = . Поэтому в силу равенства = получим:
1). = . 2). = = 3). = * . 4). = .
БИЛЕТ 15. Первый замечательный предел.
Для доказательства возьмем вектор окружности радиуса 1 с центральным углом, равным (радиан), и проведем . Тогда пл. < пл. сект. < пл. или . Разделив все части этого неравенства на > 0, получим или . Это неравенство, доказанное для любых из интервала (0; ), верно для любого из интервала (- ; ) в силу четности функций, входящих в это неравенство.
Докажем, что () при А раз и , то .
Кроме того: = 1
БИЛЕТ 16. Второй замечательный предел.
. На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+ при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+ , а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство: Рассмотрим этот предел, как предел функции натурального аргумента на бесконечность. Тогда: По определению Гейне: = = Вычислим . Рассмотрим = = .
По определению Гейне рассмотрим .
*
То есть = = = .
Также = = = =
1
БИЛЕТ 17. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение: бесконечно малая функция при , если . Определение: Пусть и - бесконечно малые функции при . Тогда: 1) и эквивалентны при ( ~ , ), если . 2) , - бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3) - бесконечно малая более высокого порядка малость, чем . ( = (), ), если . 4). имеет -й порядок малости относительно при , если .
5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .
Примеры: 1). при . 2). (, -бесконечные малости одного порядка). 3). ( ) 1 0 4). … ()- 2-й порядок малости относительно при .
5). - произвольная. БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0. Теорема (критерий эквивалентности): Пусть , -бесконечно малые функции при . - . Тогда ~ при .
Доказательства: (). Пусть ~ , , то есть . =0, то есть .
(). ., . =1.
Теорема (о замене на эквивалентные): Пусть функция ~ , ~ при и существует , тогда существует и = . То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.
= * * = . 1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций. Определение 1: Функция непрерывна в точке , если . Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , . Определение 3: Функция непрерывна в точке , если . Свойства непрерывных функций:
Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .
Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда . .
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда: 1). непрерывна в точке . 2). непрерывно в точке . 3). Если , то непрерывно в точке .
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство: Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что для любого , такого, что . (1) А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числа можно подобрать такое число , что для любого , такого, что . (2) Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2) число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1) . Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.
БИЛЕТ 21. Классификация разрывов. Примеры.
Определение: -точка разрыва функции , если в точке функция не является непрерывной. Определение: точка -точка устранимого разрыва функции , если существует , но не определена в точке , либо . Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию: - непрерывна в точке . Пример: . , - точка устранимого разрыва . Если не существует, то -точка неустранимого разрыва . Определение: Пусть точка -точка неустранимого разрыва функции , тогда: 1) если существует , то . 2) если , то -точка разрыва функции 1-го рода. 3) если , то -точка разрыва функции 2-го рода. Примеры: 1). . , - точка разрыва 1-го рода. 2). . , - точка разрыва 2-го рода. 3).
, - точка разрыва 2-го рода. 4).
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 382; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.97.37 (0.221 с.) |