Единственность многочлена Тейлора.

Пусть функция представлена в окрестности точки многочлена вида

 

Доказательство.

Если где её многочлен Тейлора и есть у нас другой многочлен надо показать, что коэффициенты одинаковы

Пусть сократим на

. пусть сократим на и т.д. многочлен Тейлора единственен.

БИЛЕТ 35. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.

На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки , а справа .

 

Теорема (достаточный признак монотонности).

1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .

2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .

 

Доказательство:

Возьмем любые числа и , причем < , из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.

БИЛЕТ 36. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума.

Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.

 

В точке х1 – min; в точке х2 – max.

Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.

Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при

то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.

Доказательство.

Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.

 

2)Доказательство аналогично.

 

Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной.

Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причём Тогда, если n=2k, то в точке х0 экстремум, и если Если n=2k+1 в точке х0 нет экстремума и точка х0 точка возрастания. Если и точка убывания, если .

Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует , то, если >0, то в точке х0 минимум, <0,то в точке х0 максимум (k=1).

Доказательство.

Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.

или знак определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак зависит от знака . По этому, если то >0 – минимум. то <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак зависит от и , т.е. при переходе через точку х0 знак меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.

Следствие.

. f’’(x0)>0, >0 – минимум; f’’(x0)<0, <0 – максимум.

БИЛЕТ 37. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Необходимое ус­ловие перегиба.