Теорема: (об отделимости от нуля).

Пусть и . Тогда .

Замечание: - ограниченная.

().

.

.

 

 

БИЛЕТ 5. Бесконечно малые и ограниченные последовательности. Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Определение: Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью, если , то есть .

 

Теорема: бесконечно малая последовательность.

(I)-

(II)-

(I) (II) =

(II) (I) =

 

Замечание: Фактически мы дали эквивалентность определений сходящейся последовательности.

Определение: Последовательность будем называть ограниченной последовательностью, если .

Замечание: Ранее мы доказали, что всякая сходящаяся, в том числе и бесконечно малая последовательность ограничена.

 

Арифметика бес­конечно малых последовательностей.

Теорема: сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Пусть . Возьмем произвольный .

Аналогично

.

Обозначим .

Тогда .

То есть

 

Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

, - ограниченная, то есть .

Возьмем произвольный .

- бесконечно малая.

.

Обозначим . Тогда

.

То есть

Замечание: сходимость ограниченной последовательности здесь не требуется.

 

БИЛЕТ 6. Теорема об арифметике пределов последовательностей.

 

Пусть , . Тогда:

1) существует

2) существует

3) если то существует .

Доказательства:

где и - бесконечно малые последовательности.

1)

бесконечно малые.

бесконечно малые.

 

2) =

бесконечно малая бесконечно малая

бесконечно малая

3) где

- бесконечно малая последовательность.

По условию

-ограниченная.

бесконечно малая.

.

 

БИЛЕТ 7. Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последо­вательности.

Определение: -монотонно возрастающая (монотонно убывающая), если (). Если неравенства строгие, то последовательности строго возрастающие (убывающие).

 

Теорема (о пределе монотонной последо­вательности). Пусть -монотонно возрастает и ограничена сверху. Тогда она сходится, причем .

 

Доказательство:

ограничена сверху =>по теореме существования точной верхней грани . Докажем, что .

: 1)

2) .

Возьмем произвольный , обозначим из 2).

1)=>

2)=> (монот. возр).

Из этого следует, что , => .

Мы доказали достаточное условие числовой сходимости последовательности (монот. и огр.)

(огр. на б.м.).

 

БИЛЕТ 8. Число е.

 

Сложно доказать, что функция при имеет предел. Этот предел обозначается буквой в честь открывшего его петербургского математика Леонарда Эйлера. Установлено, что это- иррациональное число и что =2,718281828459…. Формула, определяющая число по традиции называется второй замечательный предел. . Также число -основание натуральных логарифмов.

 

Рассмотрим .

Ограниченность.

 

-биноминальный коэффициент.

+ <

Монотонность.

+ .

 

 

…

.

По теореме о монотонности последовательности - сходится.

 

 

 

БИЛЕТ 9. Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема о частичных пределах сходящейся подпоследовательности.

 

Определение: Пусть дана некая последовательность . Из элементов этой последовательности извлечем другую последовательность , где последовательность -номера элементов исходной последовательности, причем Тогда последовательность - подпоследовательность последовательности .

 

Замечание: Элементы подпоследовательности выбираются в порядке их следования в исходной последовательности. .

 

Определение: Если , то - частичный предел последовательности .

 

Теорема (о частичных пределах сходящейся подпоследовательности): Пусть , тогда .

 

Доказательство:

Возьмем произвольный , тогда .

Возьмем произвольную . Обозначим . Тогда имеем:

. Таким образом:

.

 

Замечание: Понятие частичных пределов для сходящихся последовательностей не нужно.

 

БИЛЕТ 10. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.