Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) – французский математик и механик

 

Данная теорема является обобщением теоремы Ролля

Теорема. Пусть на отрезке определена и непрерывна функция , причем она дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда на этом интервале существует, по крайней мере, одна такая точка , что будет

справедлива формула

.

Доказательство

1. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

2. Функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:

а) непрерывна на как разность двух непрерывных функций функции и линейной функции ;

б) дифференцируема на , т. е. внутри отрезка имеет производную, равную ;

в) на концах отрезка принимает равные значения и , т. е. , так как

1) ;

2) .

3. Следовательно, по теореме Ролля существует такая точка , что , т.е.

или .

ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

1. Величина является угловым коэффициент-

том секущей, проходящей через точки и графика функ-

ции .

2. Производная функции в точке с , т.е. является угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке К .

3. По теореме Лагранжа , т.е. .Значит, существует такая точка , что касательная к графику функции в точке К будет параллельна секущей . Причем таких точек может быть и несколько.

Замечание 1. Равенство , (3)

где называется формулой конечных приращений или формулой Лагранжа, в отличие от приближенного равенства или

. (4)

Оно называется формулой бесконечно малых приращений. Формула (4) выражает тот факт, что левая и правая части приближенного равенства равны между собой для дифференцируемой в точке функции

«с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение при ».

(Так как – бесконечно малая функция более высокого порядка мало-

сти по отношению к при ).

Замечание 2. 1.Так как точка выбирается внутри интервала

, то , где .

2. Учитывая это, формула (3) примет вид:

, где .

Замечание 3. Если обозначить за ; , то формула конечных приращений примет вид:

, где .

Данная запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (3).Как будет показано далее, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем математического анализа.

Следствия к теореме Лагранжа

Следствие 1. Пусть функция определена на некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках рассматриваемого промежутка, непрерывна на концах рассматриваемого промежутка. Тогда функция постоянна на указанном промежутке.

 

Доказательство

1. Каковы бы ни были две точки и , принадлежащие рассматриваемому промежутку, причем , функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа на отрезке .

2. Следовательно, , где .

3. По условию следствия . Следовательно, или для любых из рассматриваемого промежутка. Значит, на указанном промежутке.

ч.т.д.

Следствие 2. Если функции и дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и в этих точках, а на концах отрезка функции и непрерывны, то эти функции отличаются друг от друга на постоянную, т.е. .

Доказательство

1. Действительно, функция удовлетворяет всем условиям следствия 1.

2. В частности, ее производная во внутренних точках промежутка.

3. На основании следствия 1, функция , где – ­ , является постоянной. Значит, .

ч.т.д.

Следствие 3. Пусть функция непрерывна на ; дифференцируема во всех точках , кроме, быть может, некоторой точки . Пусть существует предел от производной этой функции при : . Тогда будет существовать , причем

.

Доказательство

1. Действительно, пусть .

2. Если и ,то по теореме Лагранжа

где если и , если , откуда

3. Будем считать для определенности, что . Точка является функцией от и притом, вообще говоря, многозначной.

4. Выберем произвольно для каждого одно какое-либо значение , тогда получим однозначную функцию (как говорят, однозначную ветвь многозначной функции).

5. Поскольку , то .

6. Применяя правило замены переменной для пределов функций, получим, что существует .

7. Следовательно, существует и предел . Это и означает, что производная существует и равна.

ч.т.д.

Теорема Коши

Теорема. Пусть функции и непрерывны на отрезке , имеют в каждой точке интервала производные и , и , . Тогда существует такая точка , что справедлива формула:

. (5)

Доказательство

1. Докажем сначала, что , то есть что (5) имеет смысл. Действительно, если допустить , то по теореме Ролля для функции найдется точка , в которой . А это противоречит условию теоремы Коши: , .

2. Теперь перейдем к доказательству формулы (5). Для этого введем вспомогательную функцию

.

3. Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

а) непрерывна на как разность двух непрерывных функций;

б) дифференцируема во всех точках как разность двух дифференцируемых функций;

в) имеет равные значения на концах отрезка , т.е. .

4. В соответствии с теоремой Ролля для существует такая точка внутри интервала , что .

5. А и в точке данная производная будет иметь вид:

.

Следовательно, , где . Получено требуемое равенство.

ч.т.д.

Замечание 1. Формула (5) называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

Замечание 2. В теореме Ролля, Лагранжа, Коши речь идет о существовании некоторой точки из интервала . Ее можно назвать «средней точкой», для которой выполняется то или иное равенство, поэтому эта группа теорем называется «теоремы о среднем».

Модуль

Тема №7

Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложение к исследованию функций

Лекция №6

1. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.

2. Первое правило Лопиталя. Примеры.

3. Второе правило Лопиталя.

4. Примеры.

5. Другие виды неопределенностей и их раскрытие.

6. Примеры. Замечания.

7. Формула Тейлора для многочленов.