Другие виды неопределенности и их раскрытие

1. Неопределенность вида сводится, когда это удобно, к неопределенности типа по схеме или к неопределенности вида по схеме .

Примеры

1) Найти .

Решение

Имеем неопределенность вида . Но , и получим неопределеность вида . Применяя второе правило Лопиталя, имеем: .

2) Найти предел , .

 

 

Решение

Имеем неопределенность вида . Но , и получим неопределенность вида . Применяя второе правило Лопиталя, получим:

.

Попробуем свести к пределу типа . Применяя первое правило Лопиталя, получим: , т.е. пришли бы к задаче вычисления более сложного предела.

2. Неопределенность вида . Ее сводят к неопределенности вида по схеме или к ее вариантам.

Примеры

1 ) Найти предел .

Решение

Имеем неопределенность вида .Сведем неопределенность вида к неопределенности вида и применим первое правило Лопиталя:

.

2) Найти предел .

Решение

Имеем неопределенность вида .

Но и при том же условии получена неопределенность вида .

применим первое правило Лопиталя

.

3. Неопределенности вида , , можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции. Такие неопределенности имеют место при рассмотрении функций , где . Если при функция стремится соответственно к ; ; , функция – соответственно к ; ; . Эти неопределенности с помощью тождества

сводятся к неопределенности вида , которая уже была ранее рассмотрена.

Пример. Найти предел .

Решение

Имеем неопределенность вида . Но , и в показателе степени получена неопределенность вида , которая уже нами была рассмотрена. Следовательно, .

Чтобы найти предел , следует найти предел .

Поэтому в силу непрерывности показательной функции

= .

Замечание 1. При многократном применении правила Лопиталя необходимо каждый раз проверять, не раскрывалась ли неопределенность, иначе можно получить ошибочный ответ, т.е. если применить правило Лопиталя к выражению, не представляющему никакой неопределенности, можно получить неверный результат.

Пример. Вычислим предел функции: .

Если же продифференцировать числитель и знаменатель, то получим .

Замечание 2. По правилу Лопиталя находится предел отношения функций в том случае, когда известно существование предела отношения производных функций. Из этого не следует, что предел отношения функций не будет существовать, когда не существует предел отношения производных этих функций.

Пример. Вычислить предел функции.

применимвторое правило Лопиталя . Предел не существует, но . В то время как отношение производных, равное , при предела не имеет.

Формула Тейлора для многочлена