Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная алгебраической суммы, произведения и частногоСтр 1 из 9Следующая ⇒
Теорема Если функции U = U (x) и V = V (x) дифференцируемы в некоторой точ ке х 0, то алгебраическая сумма, произведение и частное этих функций (при V (x) ± 0) также дифференцируемы в точке и имеют место следующие формулы: (U ± V) ¢ = U¢ ± V¢, (U ∙ V) ¢ = U¢V + UV¢, при V ¹0. Доказательство 1. Для вывода формул воспользуемся определением производной функции и равенством: f (x + ∆ x) = f (x) + ∆ y и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих предел в точке. 2. Сначала докажем первую формулу: производную алгебраической суммы: (U ± V)= = /сгруппируем первое слагаемое с третьим, второе с четвертым/ = /разобьём на две дроби/= = /в числителе каждой дроби стоит приращение соответствующей функции, и по условию теоремы каждая из них имеет производную в точке х0, следовательно, существует конечный предел/= = [35]. ч.т.д. 3. Докажем формулу № 2: производную произведения: /заменим 1-й и 2-й сомножители первого слагаемого равенством / = /перемножим выражения в скобках/ /разделим каждое слагаемое числителя на / /так как множители V (x) и U (x) не зависят от , поэтому их можно вынести за знак предела/ /так как U (x) – дифференцируема по условию теоремы в точке х 0, то она непрерывна в точке х 0, следовательно, / = U ′ V (x)+ U(x)V ′+0 = U ′ V + UV ′. ч. т. д. 4. Докажем третью формулу: производную частного: /приведем к общему знаменателю дроби в числителе/ = /заменим U (x + ∆ x) = U (x) + ∆ U и т.д./ /разделим числитель и знаменатель на ∆ х / = /предел частного равен частному пределов/ = , V ≠ 0 [35]. ч.т.д. Производные основных элементарных функций 1. f (x) = c, с′ = 0; 2. f (x) = xn, (xn)′= nxn -1; 3. f (x) = sin x, (sin x)′= cos x; 4. f (x) = cos x, (cos x)′ = – sin x; 5. f (x) = tg x, (tg x)′ = ; 6. f (x) = ctg x, (ctg x)′ = ; 7. f (x) = ax, (ax)′ = ax ln a; 8. f (x) = ex, (ex)′ = ex. 9. Производная логарифмической функции: f (x) = log ax, a > 0, a ≠ 1, x > 0. . Доказательство 1. Для любого х . 2. Придадим аргументу х приращение ∆ х, получим новое значение аргумента х + ∆ х. 3. Функция получит приращение ∆ f (x) = ∆ y = f (x +∆ x) – f (x) = log a (x +∆ x) – – log ax = . 4. Найдём предел отношения [35]. ч.т.д. Следствие: Если f (x) =ln x, то (ln x)′ . 10. (ln x)′ ; 11. (arcsin x)′ x = ; 12. (arccos x)′ x = ; 13. (arctg x)′ x = ; 14. (arcctg x)′ x = [35]. Модуль
Тема №6 Дифференцируемость функции, производная и дифференциал. Правила дифференцирования Лекция №2 1. Производная обратной функции. 2. Геометрический смысл производной обратной функции. 3. Производная сложной функции. 4. Дифференцирование логарифмических функций. 5. Логарифмическое дифференцирование. 6. Дифференцирование степенно – показательных выражений. 7. Производные высших порядков.
Производная обратной функции Теорема Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции. И пусть функция является для нее обратной. Тогда если функция имеет в точке производную, не равную нулю, , то и обратная функция также имеет в точке производную , причем она определяется по формуле: . Доказательство 1. Дадим аргументу обратной функции некоторое приращение в точке . 2. Тогда обратная функция получит приращение , причем в силу возрастания или убывания (т.е. в силу монотонности прямой и обратной функций) . 3. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента: . 4. Перейдем к пределу при в последнем равенстве . 5. Так как обратная функция непрерывна в точке , то при (на основании определения №5 непрерывности функции в точке). Поэтому , причем, по условию теоремы. 6. Так как предел правой части равенства существует и равен , то, следовательно, существует предел и левой части равенства. А он по определению производной функции в точке равен . 7. Таким образом, или [4]. ч.т.д. Геометрический смысл производной обратной функции Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. 1. Рассмотрим в некоторой окрестности точки х0 график функции у = f (x) или график обратной функции x = φ (y). 2. Пусть точка М имеет координаты М (х 0, f (х 0)) или М (φ (х 0), у 0). Рис.3. 3. Известно, что производная функции у = f (х) в точке х 0 f΄ (х 0) равна танген - су угла φ 0 наклона касательной, проходящей через точку М графика функции, к оси О х: f΄ (х 0) = tg φ 0. 4. Производная же обратной функции φ' (у 0) будет равна тангенсу угла β 0 наклона касательной, проходящей через точку М графика функции х = φ (у), к оси О у: φ' (у 0) = tg β 0. Покажем это.
5. Так как углы φ 0 и β 0 в сумме составляют 90º, т.е. они являются дополнительными углами φ 0 + β 0 = , следовательно, можно записать: ,следовательно, [4]. Производная сложной функции Теорема Если функция х = φ (t) имеет производную в точке t 0, а функция у = f (x) имеет производную в соответствующей точке х 0= φ (t 0), то сложная функция f (φ (t)) = Ф (t) имеет производную в точке t 0, причем справедлива следующая формула: Ф′ (t 0) = f′ (x 0)∙ φ′ (t 0) или Ф′t = f′x ∙ φ′t или у′t = у′x ∙ x′t. Доказательство 1. Так как функция у = f (x) дифференцируема в точке х 0, то приращение этой функции в точке х 0 может быть записано так: , где бесконечно малая функция при . 2. Поделим данное равенство на ∆ t, получим . 3. Последнее равенство справедливо при любых достаточно малых ∆ х. 4. Возьмем ∆ х, равным приращению функции х = φ (t), которое соответствует приращению ∆ t аргумента t в точке t 0. 5. Перейдём к пределу в равенстве пункта 2 при ∆ t → 0. 6. Так как по условию теоремы функция х = φ (t) имеет производную в точке t 0, то она непрерывна в точке t 0. А следовательно, если ∆ t стремится к нулю, то и ∆ х стремится к нулю, т.е. на основании определения №5 непрерывности функции в точке. 7. Тогда при ∆ t → 0 ∆ х → 0 и, следовательно, α (∆ х) → 0, так как . 8. Поэтому правая часть равенства пункта 2 примет вид: = . 9. Если существует предел правой части равенства, то существует предел левой части того же равенства. А он по определению производной функции равен производной функции Ф (t) = f (φ (t)) в точке t 0. Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции в точке и установлена формула: Ф′ (t 0) = = f′ (x 0)∙ φ′ (t 0) или у′ (t 0) = f′ (x 0)∙ φ′ (t 0) или у′t = у′x ∙ x′t. ч.т.д. Замечание В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость – с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования останется прежним [35]. ч.т.д. Пример. Найти производную функции . [35].
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 1009; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.92.96.247 (0.05 с.) |