Производные высших порядков от обратных

Функций

Теорема

Пусть функция у = f (х) непрерывна и строго монотонно в некоторой окрестности точки х ₀. Пусть в точке х = х ₀ существуют производные у' (х ₀) и у'' (х ₀), причем у' (х ₀) ≠ 0. Тогда существует обратная функция х = φ (у), и она имеет вторую производную в точке у ₀= f (х ₀), причем справедлива формула:

или .

Доказательство

1. На основании теоремы о производной обратной функции имеем:

, y′_x ≠ 0 в точке х ₀. ().

2. Вычислим от обеих частей последнего равенства производную по переменной у с учётом правила дифференцирования сложной функции и частного двух функций.

3. Получим

или (x′_y) ′_y = [17].

ч.т.д.

Параметризованные пути. Кривая Жордано

Определение 16

Параметризацией множества Е называется всякое отображение какого-либо множества F на Е. При этом общий элемент множества F на Е называется параметром, конкретные элементы – значения параметра и говорят, что множество Е параметризовано множеством F посредством отображения f.

Определение 17

Параметризованным путём в плоскости называется всякое множество точек, параметризованные каким-либо невырожденным промежутком.

Таким образом, параметризованный путь в плоскости определяется заданием отображения р:®П, областью определения которого является некоторый невырожденный промежуток I. Часто параметризованным путём называют само отображение р.

Определение 18

Параметризованный путь, определённый непрерывным отображением р невырожденного промежутка в плоскость, называется кривой Жордано.

Если р – координатная плоскость, то точки параметризованного пути получают представление вида: р(t) = M(φ(t);ψ(t)), где φ и ψ – компоненты отображения р, и мы приходим к параметрическим уравнениям: х = φ(t), у = ψ(t).

Пример 1

Параметрическое уравнение прямой. Пусть L – прямая, проходящая через две точки М₀(х₀;у₀) и М₁(х₁;у₁). Её можно задать уравнением:

(у₁-у₀)(х-х₀) – (х₁-х₀)(у-у₀) = 0.

Действительно, так как М₁ ≠ М₀, то хотя бы один из коэффициентов у₁-у₀, х₁-х₀ показала, что эта прямая, проходящая через точки М₁ и М₀, т.е. совпадает с L. Покажем, что L можно задать параметрическими уравнениями х = (1-t)х₀+tx₁, у=(1-t)y₀ + ty₁, (-∞<t<+∞).

Действительно, точка М₁ представима в виде (х-х₀) = (х₁-х₀)t, (у-у₀) = (у₁-у₀)t. Умножая первое из уравнений на (у₁-у₀), второе на (х₁-х₀) и вычитаем, видим, что каждая точка параметрического пути принадлежит L.

Обратно: всякая точка М(х,у), принадлежащая L, удовлетворяет уравнениям при t = (х-х₀)/(х₁-х₀) (если х₁≠х₀), совпадающее со значением (у-у₀)/(у₁-у₀) (если у₁≠у₀) и только при нём. Это показывает, что t – есть ни что иное, как отображение коллинеарных векторов М₀М:М₀М₁ (рис.4). В частности, когда t пробегает отрезок [0,1], точка М пробегает отрезок М₀М₁ прямой L.

Таким образом, х = (1-t)х₀ + tx₁, у=(1-t)y₀ + ty₁, 0<t<1- уравнение отрезка М₀М₁.

Определение 19

Пусть р – отображение невырожденного промежутка I в плоскость П, причём: 1) р непрерывна в точке t₀, т.е. существует такая окружность U точки t₀, что р(t)

≠ р(t₀) для всех t (U/{t₀})∩I. Касательной к параметризованному пути р в его точке М₀ = р(t) называют такую прямую L, проходящую через М₀, что расстояние MN от точки М = р(t) до этой прямой бесконечно мало по сравнению с М₀М при t→t₀. (рис.5)

Рис.4. Рис.5.