Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя



Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 - 1704) – французский математик

 

Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (к конечному числу или к одной из бесконечностей: ,+ , – ) выполняется путем формальной подстановки соответствующего значения вместо аргумента в аналитическую формулу функции. В результате таких операций очень часто приходят к выражениям вида: , , , , , , . Такие выражения называются неопределенностями. В данном случае нельзя сказать, существует ли предел у функции и чему он равен. В таком случае вычисление предела функции называется «раскрытием неопределенностей». Некоторые способы отыскания пределов функции носят название «Правила Лопиталя».

Раскрытие неопределенности или первое правило Лопиталя

Теорема. Пусть и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть = (или ) и в окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных функций (конечный или бесконечный), то существует предел отношения функций , причем будет справедлива формула: .

Доказательство

1. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента,

сходящаяся к точке при , причем .

2. Доопределим функции и в точке , приняв их равными нулю, т.е. .

3. Тогда, очевидно, функции и будут непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , и по условию .

4. Таким образом, для и выполнены все условия теоремы Коши на отрезке , т.е. внутри отрезка существует точка , такая что:

, .

5. По доопределению , значит, формула принимает вид:

, . (*)

6. Пусть теперь в формуле (*) стремится к бесконечности. Тогда, очевидно, точка стремится к при .

7. Так как существует, то правая часть формулы (*) имеет при предел, равный указанному выражению, т. е.:

.

8. Если существует предел от правой части формулы (*), то существует предел и от левой части формулы (*), и он должен быть равен , т.е.

.

9. Так как – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к , то отсюда заключаем, что существует, и на основании определения предела функции в точке по Гейне и будет выполняться утверждение .

Замечание 1. Если производные функций , удовлетворяют тем же требованиям теоремы, что и сами функции и , то первое правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем:

.

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда , , . В самом деле, пусть, например, и существует (конечный или бесконечный.)

Доказательство

1. Сделаем подстановку . Если , то .

2. И , при .

3. Применяя к функциям и доказанную теорему и правило дифференцирования сложной функции, получим:

.

Примеры. Вычислить пределы функций.

1. требования теоремы выполняются, применим первое пра-

вило Лопиталя .

2. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя .

3. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя .

Раскрытие неопределенности или второе правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и :

1) дифференцируемы на интервале ;

2) ;

3) на ;

4) существует конечный или бесконечный, равный или предел:

. Тогда существует и предел функций , равный:

.

Теорема остается справедливой при замене и на требование , и .

Примеры. Вычислить пределы функций.

1. применим второе правило Лопиталя .

2. применим второе правило Лопиталя раз

.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 509; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 107.21.137.184 (0.008 с.)