Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя
Гильом Франсуа де Лопиталь (1661 - 1704) – французский математик
Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (к конечному числу или к одной из бесконечностей: ,+ , – ) выполняется путем формальной подстановки соответствующего значения вместо аргумента в аналитическую формулу функции. В результате таких операций очень часто приходят к выражениям вида: , , , , , , . Такие выражения называются неопределенностями. В данном случае нельзя сказать, существует ли предел у функции и чему он равен. В таком случае вычисление предела функции называется «раскрытием неопределенностей». Некоторые способы отыскания пределов функции носят название «Правила Лопиталя». Раскрытие неопределенности или первое правило Лопиталя Теорема. Пусть и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Пусть = (или ) и в окрестности точки . Тогда, если существует предел отношения производных функций (конечный или бесконечный), то существует предел отношения функций , причем будет справедлива формула: . Доказательство 1. Пусть – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к точке при , причем . 2. Доопределим функции и в точке , приняв их равными нулю, т.е. . 3. Тогда, очевидно, функции и будут непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , и по условию . 4. Таким образом, для и выполнены все условия теоремы Коши на отрезке , т.е. внутри отрезка существует точка , такая что: , . 5. По доопределению , значит, формула принимает вид: , . (*) 6. Пусть теперь в формуле (*) стремится к бесконечности. Тогда, очевидно, точка стремится к при . 7. Так как существует, то правая часть формулы (*) имеет при предел, равный указанному выражению, т. е.: . 8. Если существует предел от правой части формулы (*), то существует предел и от левой части формулы (*), и он должен быть равен , т.е. . 9. Так как – произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к , то отсюда заключаем, что существует, и на основании определения предела функции в точке по Гейне и будет выполняться утверждение . Замечание 1. Если производные функций , удовлетворяют тем же требованиям теоремы, что и сами функции и , то первое правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем:
. Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда , , . В самом деле, пусть, например, и существует (конечный или бесконечный.) Доказательство 1. Сделаем подстановку . Если , то . 2. И , при . 3. Применяя к функциям и доказанную теорему и правило дифференцирования сложной функции, получим: . Примеры. Вычислить пределы функций. 1. требования теоремы выполняются, применим первое пра- вило Лопиталя . 2. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя . 3. требования теоремы выполняются, применим первое правило Лопиталя . Раскрытие неопределенности или второе правило Лопиталя Теорема. Пусть функции и : 1) дифференцируемы на интервале ; 2) ; 3) на ; 4) существует конечный или бесконечный, равный или предел: . Тогда существует и предел функций , равный: . Теорема остается справедливой при замене и на требование , и . Примеры. Вычислить пределы функций. 1. применим второе правило Лопиталя . 2. применим второе правило Лопиталя раз .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 509; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 107.21.137.184 (0.008 с.) |