Неравенство Чебышева в теории меры

Неравенство Чебышева в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышева также используется для доказательства вложения пространства в слабое пространство .

Формулировки

• Пусть — пространство с мерой. Пусть также
• 
• — суммируемая на функция
• .

Тогда справедливо неравенство:

.

• В более общем виде:

Если — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения , то

• В терминах пространства :

Пусть . Тогда

Неравенство Чебышева может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

,

где .

Если , где — стандартное отклонение и , то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	- интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность имеет вид

.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

откуда получаем все моменты:

.

В частности,

,

,

.

Отсутствие памяти

Пусть . Тогда .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.