Связь с другими распределениями

• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения:

.

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение с параметром — это частный случай распределения хи-квадрат:

.

20 Математическое ожидание непрерывной равномерно распределённой случайной величины в интервале вычисляется по следующей формуле:

Дисперсия непрерывной равномерно распределённой случайной величины в интервале вычисляется по следующей формуле:

 

Равномерное распределение, прямоугольное распределение, специальный вид распределения вероятностей случайной величины Х, принимающей значения из интервала (а — h, a + h); характеризуется плотностью вероятности:

.

Математическое ожидание:

Ех = a, дисперсия Dx = h ²/3, характеристическая функция: .

С помощью линейного преобразования интервал (а — h, a + h) может быть переведён в любой заданный интервал. Так, величина Y = (X — a + h)/2 h равномерно распределена на интервале (0, 1). Если Y₁, Y₂,..., Y_n равномерно распределены на интервале (0, 1), то закон распределения их суммы, нормированной математическим ожиданием n /2 и дисперсией n /12, при возрастании n быстро приближается к нормальному распределению (даже при n = 3 приближение часто бывает достаточным для практики).

Нормальное распределение
Плотность вероятности Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Обозначение
Параметры	- коэффициент сдвига (вещественное число) - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Свойства

Если случайные величины и независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями и и дисперсиями и соответственно, то также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .