Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Предельные теоремы для схемы Бернулли
Подпункты этого параграфа:
К настоящему моменту мы накопили значительное число точных результатов, относящихся к последовательности независимых испытаний Бернулли и связанному с ней биномиальному распределению. Мы знаем, что , число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли, можно представить в виде
где -- независимые одинаково распределенные бернуллиевские случайные величины. Мы знаем в явном виде распределение , а именно, где -- вероятность успеха в единичном испытании. Вместе с тем, во многих задачах приходится находить вероятности при больших значениях . Это может вызвать значительные вычислительные трудности ввиду громоздкости биномиальных коэффициентов и необходимости возводить числа и в высокие степени. Ниже мы рассмотрим две важные предельные ситуации, когда биномиальное распределение может быть приближено другими распределениями. Пуассоновское приближение Верна предельная теорема Пуассона: Пусть , таким образом, что , где -- заданное число. Тогда для любого фиксированного Другими словами, в описанном предельном переходе биномиальные вероятности аппроксимируются пуассоновским распределением. Доказательство. Для краткости будем считать, что , . Тогда поскольку выражение в квадратных скобках стремится к единице, если фиксировано, а . Замечание 2.10 Формулировка теоремы Пуассона, которая приведена выше, ничего не говорит о скорости сходимости биномиального распределения к предельному пуассоновскому закону. Ответ на этот вопрос можно дать, воспользовавшись, например, теоремой из [14, гл. 3, § 12]. Из нее вытекает, что если , то где -- пуассоновская с.в. с параметром , а верхняя грань взята по всем подмножествам целых неотрицательных чисел. Нормальное приближение Здесь мы рассмотрим случай, когда число испытаний в схеме Бернулли растет (), а вероятность успеха в единичном испытании остается фиксированной. Верна так называемая интегральная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа 1 Пусть -- число успехов в последовательности из независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха в единичном испытании . Пусть . При
где . Мы не приводим доказательства этого утверждения, желающие могут найти его, например, в [4] или [14]. Мы ограничимся рядом замечаний. Замечание 2.11 Функция , появившаяся в этой теореме, называется функцией распределения стандартного нормального закона. Для значений этой функции существуют подробные таблицы. Свойства функции мы будем подробно обсуждать в Главе 3. Пока же мы отметим, что она не зависит ни от каких параметров. Следовательно, предел в теореме Муавра-Лапласа является универсальным, так как он не зависит от параметра , который имеется в допредельном выражении. На самом деле, эта теорема является частным случаем другой, еще более универсальной центральной предельной теоремы. Центральную предельную теорему мы будем обсуждать в 5.2. Замечание 2.12 Чтобы понять смысл выражения
необходимо вспомнить, что и (см. Пример 2.7). Таким образом, это выражение имеет вид . Легко видеть, что , а . Преобразование (13) называется центрированием и нормированием случайной величины . Замечание 2.13 В предельном переходе `` , фиксировано'' каждая ``индивидуальная'' вероятность стремится к нулю. Асимптотика этого стремления описывается так называемой локальной предельной теоремой, которая остается за рамками нашего курса, но может быть найдена в большинстве классических учебников (например, в [4] или [14]). Что же касается интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа, то можно сказать, что она описывает предельное поведение сумм большого числа таких малых вероятностей. Действительно, таким образом, в последней сумме содержится много (порядка ) слагаемых. Замечание 2.14 Скорость сходимости в (12) хорошо изучена. Имеет место так называемая оценка Берри-Эссеена: существует такое , что Подробности можно найти в [14].
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 234; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.151.231 (0.006 с.) |