Абсолютно непрерывные распределения

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

 

Многомерные функции распределения

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для

Математическое ожидание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 октября 2012; проверки требуют 2 правки.

Перейти к: навигация, поиск

См. также: Условное математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей.^[1] В англоязычной литературе и в математических сообществах Москвы и Санкт-Петербурга обозначается через ^[2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — ^{[ источник не указан 98 дней ]} (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Основные формулы для математического ожидания

• Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

.