О применимости предельных теорем в схеме Бернулли 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

О применимости предельных теорем в схеме Бернулли



Следует различать ситуации, когда к схеме Бернулли можно применить пуассоновскую, а когда нормальную аппроксимации. Из формулировок теорем Пуассона и Муавра-Лапласа, а также Замечаний 2.10 и 2.14 можно вывести следующие общие правила:

  • если велико, а не велико, следует пользоваться пуассоновским приближением;
  • если велико и велико, то можно применять нормальное приближение.

На практике в ситуации, когда имеет порядок сотен, поступают следующим образом: если , то применяют пуассоновское приближение; если же имеет порядок нескольких десятков, то пользуются нормальной аппроксимацией.

 

Локальная теорема Муавра — Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события Е равна р (0<р<1) и m — число испытаний, в которых Е фактически наступает, то вероятность неравенства близка (при больших n) к значению интеграла Лапласа.

Применение

Используется в теории вероятностей.

При рассмотрении количества появлений события в испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что заключено между некоторыми значениями и . Так как при достаточно больших промежуток содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что фиксированно, а . Теорема Муавра-Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Формулировка

Если в схеме Бернулли n стремится к бесконечности, p (0 < p < 1) постоянно, величина ограничена равномерно по m и n , то

где , c > 0, c — постоянная.

Приближённую формулу

рекомендуется применять при n > 100 и npq > 20.

Доказательство

Для доказательства Теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

(1)

где . При больших величина очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде,

(2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю, когда .

Нас будут интересовать значения , не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном условие будет так же означать, что

, (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

(4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения

(5)

Переписываем полученное ранее биномиальное распределение с факториалами, заменёнными по приближённой формуле Стирлинга:

(6)

Предположим, что

(7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

(8)

Располагаем члены этого разложения по степеням :

(9)

Предположим, что при

(10)

Это условие, как уже было указанно выше, означает, что рассматриваются значения , не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

(11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем:

(12)

Обозначив

(13)

Переписываем (12) в виде:

(14)

Где — нормальная функция.

Поскольку в интервале имеется только одно целое число , то можно сказать, что есть вероятность попадания в интервал . Из (5) следует, что изменению на 1 соответствует изменение на

(15)

Поэтому вероятность попадания в интервал равна вероятности попадания в промежуток

(16)

Когда , и равенство (16) показывает, что нормальная функция является плотностью случайной переменной

Таким образом, если то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой — нормальная функция с и .

Таким образом теорема доказана.

14 Дискретные случайные величины

 

Определение1: Случайная величина называется дискретной случайной величиной, если она принимает не более чем счетное число значений. Задание дискретной случайной величины по определению равносильно заданию закона распределения случайной величины в следующем виде:


где

Следующее утверждение отражает связь между функцией распределения дискретной случайной величины и законом распределения случайной величины.

Утверждение 1: Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины взаимно однозначно определяют друг друга.

 

Примеры дискретных случайных величин:

1) дискретная случайная величина Бернулли (закон распределения Бернулли). Закон распределения дискретной случайной величины Бернулли имеет следующий вид: 0<p<1

Такому распределению соответствует бросание монеты, на одной стороне которой - 0, а на второй - 1.

 

2) дискретная биномиальная случайная величина (биномиальное распределение). Закон распределения данной дискретной случайной величины запишется следующим образом:

где

Число успехов в n испытаниях схемы Бернулли имеет биномиальное распределение.

 

3) дискретная случайная величина Пуассона( пуассоновское распределение с параметром ). Закон распределения дискретной случайной величины Пуассона задается следующим образом:

где - параметр.

Закон распределения случайной величины Пуассона носит название закона редких событий, поскольку оно всегда появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит "редкое" событие. По закону Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших на телефонную станцию, число распавшихся нестабильных частиц и т.д.

 

4) дискретная геометрическая случайная величина (геометрическое распределение). Закон распределения геометрической дискретной случайной величины имеет вид

Пусть производятся независимые испытания, причем в каждом испытании возможны два исхода - "успех" с вероятностью p или "неуспех" с вероятностью 1 - p, 0 < p < 1. Обозначим через число испытаний до первого появления "успеха", тогда будет дискретной геометрической случайной величиной.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 159; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.206.227.65 (0.121 с.)