Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

1. Дифференциальное уравнение вида

р (x) dx + q (y) dy = 0(5)

называют уравнением с разделенными переменными.

Предположим, что функции p (x)и q (y) непрерывны на интервалах (a, b) и (c, d) соответственно. Таким образом, областью D, в которой рассматривается д. у. является прямоугольник (a, b) (c, d) на плоскости хОу.

Если Р (х) и Q (у) – первообразные для p (x)и q (y), то левая часть уравнения (5) является полным дифференциалом функции u (x, y) = Р (х) + Q (у), а само уравнение (5) принимает вид

du (x, y) = 0,

откуда

u (x, y) = С,

или

Р (х) + Q (у)= С. (6)

Выражение (6) есть общий интеграл д.у (5).

2. Уравнение вида

М₁ (х) N₁ (у) dx + М₂ (х) N₂ (y) dy = 0 (7)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Предполагаем, что функции М₁ (х) и М₂ (х) непрерывны на (a, b), а N₁ (у)и N₂ (y) на (c, d).

Если N₁ (у ₀) = 0, то у = у ₀ удовлетворяет уравнению (7). Аналогично, если М₂ (х ₀) = 0, то х = х ₀ также удовлетворяет уравнению (7). Таким образом, (7) имеет решениями функции, графики которых являются частями горизонтальных и вертикальных прямых. Естественно считаем, что х ₀ (a, b), а у ₀ (c, d).

Для точек прямоугольника (a, b) (c, d), в которых N₁ (у) · М₂ (х) ≠ 0 уравнение (7) равносильно следующему

,

являющемуся уравнением с разделенными переменными.

 

Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция f (x, у)называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если при любом λ справедливо тождество

.

Пример 1. Функция f (x, у)= - однородная функция первого измерения, так как

.

Пример 2. f (x, у)= есть однородная функция нулевого измерения, т.к , т.е. .

Если f (x, у) однородная нулевого измерения, то ее можно представить в виде

f (x, у)= (8)

т.е. на самом деле f (x, у) является функцией отношения .

Определение. Уравнение первого порядка

(9)

называется однородным относительно х и у,если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у.

Заменой

(10)

(9) сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, по (10) и (8)

откуда

. (11)

Если , то - решения (11), так что

(12)

- решение (9).

Для и уравнение (11) равносильно

(13)

Если Ф (и) - первообразная для , то - общий интеграл д.у. (13), а

(14)

- общий интеграл д.у. (9).

Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида

(25)

где Р (х)и Q (х) — непрерывные на некотором интервале (а, b) (или постоянные), а и (в противном случае получилось бы линейное урав­нение или д. у. с разделяющимися переменными). Это уравнение, называемое уравнением. Бернулли,приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделив все члены уравнения на у^п, получим:

(26)

Сделаем, далее, замену:

z=y^{-n+ 1}.

Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение (26), будем иметь линейное уравнение

. (27)

Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение у^{-п+ 1},получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение

○ Так как , то воспользовавшись (27) имеем:

.

Далее полученное уравнение Бернулли решаем с помощью подстановки . Имеем или .

Полагаем откуда ; интегрируя, находим , или (постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти какое – либо частное решение этого вспомогательного уравнения).

Для определения и имеем уравнение или , откуда находим . Тогда , т.к. , то .●

Замечание. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций:

y = u (x) v (x),

где v (x) — какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяю­щая уравнению v'+Pv = 0.

Задание. Решите предыдущий пример методом Бернулли.

II. Уравнение вида

, (36)

не содержит явным образом искомой функции у.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение

.

Таким образом, порядок уравнения понизился на k единиц.

Уравнение второго порядка, разрешенное относительно наивысшей производной, данного вида имеет вид

. (37)

Рассмотрим его решение. Обозначим производную через z, тогда . Подставляя эти выражения производных в уравнение (37), полу­чим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции z от х. Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение:

,

а затем из соотношения получаем общий интеграл уравне­ния (37):

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

○ Полагаем , преобразуем уравнение к виду

или .

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая , откуда , получим уравнение

.

В полученном уравнении разделяем переменные и интегрируем:

.

Т.к. , то имеем , или , откуда . Следовательно,

(выше был использован метод интегрирования «по частям»).

III. Уравнение вида

, (38)

Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства

Определение. Дифференциальное уравнение п -го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции у и ее производных у ',..., у ^{(п -1)}, у ^(п) т. е. имеет вид

, (43)

где а ₀, a ₁, a ₂, ...,а_п и f (x) — заданные функции от х или постоян­ные, причем для всех значений х из той области, в которой мы рассматриваем уравнение (43). В дальнейшем мы будем предпола­гать, что функции а ₀, a ₁, a ₂, ...,а_п и f (x) непрерывны на некотором интервале оси х,причем коэффициент а ₀ = 1 (если он не равен 1, мы можем все члены уравнения поделить на него). Функция f (x), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.

Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка.

Теорема 1. Если у ₁и у ₂— два частных решения линейного однородного уравнения второго порядка

, (44)

то функция

(45)

— линейная комбинация решений у ₁и у ₂также решение этого уравнения.

Доказательство.

Так как у ₁и у ₂— решения уравнения, то

(46)

Подставляя в уравнение (44) сумму и принимая во внимание тождества (46), будем иметь:

т.е. есть решение уравнения.

Определение. Два решения уравнения (44) у ₁и у ₂назы­ваются линейно независимыми на отрезке , если их отноше­ние на этом отрезке не является постоянным, т. е. если

.

В противном случае решения называются линейно зависимыми. Иными словами, два решения у ₁и у ₂называются линейно зависимыми на отрезке , если существует такое постоянное число , что при . В этом случае .

Определение. Если у ₁и у ₂суть функции от х,то определитель

называется определителем Вронского или вронскианом данных
функций.

Теорема 2. Если функции у ₁и у ₂линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского на этом отрезке тожде­ственно равен нулю.

Действительно, если где , то и

.

Теорема 3. Если решения у ₁и у ₂уравнения (44) линейно независимы на отрезке , то определитель Вронского W, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке указанного отрезка.

Теорема 4. Если у ₁и у ₂— два линейно независимых на отрезке реше­ния уравнения (44), то функция

(45)

есть его общее решение.

Доказательство.

Из теоремы 1 следует, что функция есть решение уравнения (44) при любых значениях С ₁и С ₂.

Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия , где можно так подобрать значения произвольных постоянных С ₁и С ₂, чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.

Так как , то подставляя начальные условия, будем иметь:

(47)

Равенства (47) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными С ₁и С ₂ . Определитель этой системы

есть определитель Вронского при х = х ₀и, следовательно, не ра­вен 0 (в силу линейной независимости решений у ₁и у ₂). С ₁и С ₂ найдем применяя, например, формулы Крамера. Частное решение, которое получится из семейства (45) при найденных зна­чениях С ₁и С ₂ , удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Замечание. Не существует общих методов для нахожде­ния в конечном виде общего решения линейного уравнения с пере­менными коэффициентами. Однако для уравнения с постоянными коэффициентами такой метод существует. Он будет изложен в сле­дующем пункте.

 

Коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение п -го порядка:

. (54)

Будем предполагать, что а ₁, а ₂,..., а_п — постоянные. Прежде чем указывать метод решения уравнения (54), введем определение, нуж­ное нам для дальнейшего.

Определение. Если для всех х отрезка имеет место равенство

,

где A ₁, А ₂,..., А_п — постоянные числа, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции .

Определение. п функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.

Замечание 1. Из определений следует, что если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные C _l, С ₂,..., С _п не все равные нулю, такие, что для всех х отрезка будет выполняться тождество

Пример. Функции линейно независимы, так как ни при каких С ₁, С ₂, С ₃, одновременно не равных нулю, выражение

не будет тождественно равно нулю.

Перейдем теперь к решению уравнения (54). Для этого уравнения справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции являются линейно не­зависимыми решениями уравнения (54), то его общее решение есть

у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂+....+ С_пу_п (55)

где С ₁,..., С_п — произвольные постоянные.

Если коэффициенты уравнения (54) постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка.

1) Составляем характеристическое уравнение

.

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) По характеру корней выписываем частные линейно независи­мые решения, руководствуясь тем, что:

а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение е^kх;

б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных решения и ;

в) каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых частных решений

;

г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности s соответствуют 2 s частных решений:

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько, каков порядок дан­ного линейного дифференциального уравнения). Можно доказать, что эти решения линейно независимы.

4) Найдя п линейно независимых частных решений y ₁, y ₂,..., у_п, строим общее решение данного линейного уравнения:

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

○ Составляем характеристическое уравнение .

Находим корни характеристического уравнения:

.

Записываем общее решение:

.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

. (1)

Если это уравнение можно разрешить относительно то его можно записать в виде

(1')

В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено относительно производной. Для такого уравнения спра­ведлива следующая теорема, которая называется теоремой о суще­ствовании и единственности решения дифференциального уравнения.

Теорема. Если в уравнении функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х ₀, у ₀), то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию .

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция , график которой проходит через точку (х ₀, у ₀).

Условие, что при х = х ₀функция у должна равняться заданному числу у ₀,называется начальным условием.

Определение. Общим решением дифференциального урав­нения первого порядка называется функция

(2)

которая зависит от одного произвольного постоянного С и удовле­творяет следующим условиям:

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом
конкретном значении постоянного С;

б) каково бы ни было начальное условие ,
можно найти такое значение С=С₀,что функ­ция удовлетворяет данному начальному условию. При этом точка (х ₀, у ₀) , где D - область изменения переменных х и у, в которой выполняются усло­вия теоремы существования и единственности решения.

В процессе разыскания общего решения дифференциального уравнения мы нередко приходим к соотношению вида

Ф (х, у,С) = 0, (2')

не разрешенному относительно у. Разрешив это соотношение отно­сительно у,получаем общее решение. Однако выразить у из соот­ношения (2') в элементарных функциях не всегда оказывается воз­можным; в таких случаях общее решение оставляется в неявном виде. Равенство Ф (х, у,С) = 0 называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Частным решением называется любая функ­ция которая получается из общего решения , если в последнем произвольному постоянному С придать определен­ное значение С = С ₀. Соотношение Ф (х, у, С ₀) = 0 называется частным интегралом уравнения.

Пример. Для уравнения первого порядка

общим решением будет семейство функций у = ; это можно проверить подстановкой в уравнение.

Найдем частное решение, удовлетворяющее следующему начальному усло­вию: у ₀ = 1 при х ₀ = 2. Подставляя эти значения х ₀и у ₀в формулу у = , получим 1= С /2 или С = 2. Следовательно, искомым частным решением будет функция у = 2 /х.

Геометрически общий интеграл представ­ляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной С (или, как говорят, от одного параметра С). Эти кривые называются интегральными кривыми данного дифференциального уравнения. Частному интег­ралу соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку (х ₀, у ₀) плоскости.

Так, в последнем примере общий интеграл геометрически изобра­жается семейством гипербол у = , а частный интеграл, определен­ный указанным начальным условием, изображается одной из этих гипербол, проходящей через точку М ₀(2, 1). На рис. 1 изобра­жены кривые семейства, соответствующие некоторым значениям параметра: С=1/2, С=1, С=2, С= —1 и т. д.

Замечание. Уравнение не имеет решения, проходя­щего через точку, лежащую на оси Оу (см. рис. 1), так как правая часть уравнения при х = 0 не определена и, следовательно, не является непрерывной.

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального урав­нения первого порядка.

Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относи­тельно производной:

, (1')

и пусть есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на пло­скости Оху.

Уравнение (1') для каждой точки М с координатами х и у опре­деляет знание производной , т. е. угловой коэффициент каса­тельной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (1') определяет поле направлений на пло­скости Оху.

Следовательно, с геометрической точки зрения задача интегриро­вания дифференциального уравнения заключается в нахождении кри­вых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в которых выполняется соотношение = С = const, назы­вается изоклиной данного дифференциального уравнения.

При различных значениях С получаем различные изоклины. Урав­нение изоклины, соответствующей значению С, будет, очевидно, f (x, у)= С. Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что, зная изоклины, можно качественно определить рас­положение интегральных кри­вых на плоскости.

На рис. 2 изображено поле направлений, определяе­мое дифференциальным урав­нением .

Изоклинами данного диф­ференциального уравнения яв­ляется семейство прямых у = - Сх. Эти прямые изображены на рис. 2.

Рассмотрим такую задачу: Пусть дано семейство функций, зависящее от одного параметра С:

(3)

причем через каждую точку области D на плоскости проходит только одна кривая из этого семейства.

Для какого дифференциального уравнения это семейство функций является общим интегралом?

Из соотношения (3), дифференцируя по х, найдем:

(4)

Так как через каждую точку области D проходит только одна кривая семейства, то для каждой пары чисел х и у определяется единственное значение С из уравнения (3). Подставляя это значение С в соотношение (4), найдем как функцию от х и у. Это и дает нам дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет всякая функция из семейства (3).

Следовательно, чтобы написать дифференциальное уравнение, общий интеграл кото­рого определяется формулой (3), нужно исключить С из соотноше­ний (3) и (4).