Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Имеем линейное однородное уравнение второго порядка

, (48)

где р и q — постоянные действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно, как было доказано выше, найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде

у = е^kх,где k = const; (49)

тогда

Подставляя полученные выражения производных в уравнение (48), находим:

.

Так как , то, значит,

k ² +pk + q = 0. (50)

Следовательно, если k будет удовлетворять уравнению (50), то е^kх будет решением уравнения (48). Уравнение (50) называется характе­ристическим уравнением по отношению к уравнению (48).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имею­щее два корня: обозначим их через k ₁и k ₂. При этом

.

Возможны следующие случаи:

I. k ₁и k ₂ — действительные и ;

II. k ₁и k ₂ — комплексные числа;

III. k ₁и k ₂ — действительные равные числа .

Рассмотрим каждый случай отдельно.

I. Корни характеристического уравнения дейст­вительны и различны: . В этом случае частными ре­шениями будут функции

.

Эти решения линейно независимы, так как .

Следовательно, общее решение имеет вид

. (51)

Пример 1. Дано уравнение .

○ Характеристическое уравнение имеет вид .

Находим корни характеристического уравнения:

По формуле (51) общее решение: .●

II. Корни характеристического уравнения ком­плексные. Так как комплексные корни входят попарно сопря­женными, то обозначим:

.

Воспользовавшись формулой Эйлера: , запишем частные решения в виде

,

.

Функции у ₁и у ₂ линейно независимы, но содержат мнимую единицу. Чтобы получить действительные частные решения рассмотрим линейные комбинации функций у ₁и у ₂:

.

Получим:

.

Решения и линейно независимы, т.к. .

Следовательно, общее решение уравнения (48) в случае комплекс­ных корней характеристического уравнения имеет вид:

. (52)

Важным частным случаем решения (52) является случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые.

Это имеет место тогда, когда в уравнении (48) р = 0,и оно имеет вид

.

Характеристическое уравнение (50) принимает вид

.

Корни характеристического уравнения

.

Решение (52) принимает вид

.

III. Корни характеристического уравнения дей­ствительные и равные. Обозначим .

Одно частное решение получается на основании преды­дущих рассуждений. Нужно найти второе частное решение, линей­но независимое с первым.

Проверим, что функция является решением уравнения (48). Дифференцируя, находим:

.

Подставляя выражения производных в уравнение (48), получаем

Так как k – корень характеристического уравнения, то , кроме того , поэтому .

Решение линейно независимо с первым, так как .

Поэтому общим решением будет функция

. (53)

Пример 2. Дано уравнение .

○ Пишем характеристическое уравнение . Находим его корни: . Общим интегралом будет: .●

Линейные однородные уравнения п -го порядка с постоянными

Коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение п -го порядка:

. (54)

Будем предполагать, что а ₁, а ₂,..., а_п — постоянные. Прежде чем указывать метод решения уравнения (54), введем определение, нуж­ное нам для дальнейшего.

Определение. Если для всех х отрезка имеет место равенство

,

где A ₁, А ₂,..., А_п — постоянные числа, не все равные нулю, то говорят, что выражается линейно через функции .

Определение. п функций называются линейно независимыми, если никакая из этих функций линейно не выражается через остальные.

Замечание 1. Из определений следует, что если функции линейно зависимы, то найдутся постоянные C _l, С ₂,..., С _п не все равные нулю, такие, что для всех х отрезка будет выполняться тождество

Пример. Функции линейно независимы, так как ни при каких С ₁, С ₂, С ₃, одновременно не равных нулю, выражение

не будет тождественно равно нулю.

Перейдем теперь к решению уравнения (54). Для этого уравнения справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции являются линейно не­зависимыми решениями уравнения (54), то его общее решение есть

у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂+....+ С_пу_п (55)

где С ₁,..., С_п — произвольные постоянные.

Если коэффициенты уравнения (54) постоянны, то общее решение находится так же, как и в случае уравнения второго порядка.

1) Составляем характеристическое уравнение

.

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) По характеру корней выписываем частные линейно независи­мые решения, руководствуясь тем, что:

а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение е^kх;

б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных решения и ;

в) каждому действительному корню k кратности r соответствует r линейно независимых частных решений

;

г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности s соответствуют 2 s частных решений:

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т. е. столько, каков порядок дан­ного линейного дифференциального уравнения). Можно доказать, что эти решения линейно независимы.

4) Найдя п линейно независимых частных решений y ₁, y ₂,..., у_п, строим общее решение данного линейного уравнения:

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

○ Составляем характеристическое уравнение .

Находим корни характеристического уравнения:

.

Записываем общее решение:

.