Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Пусть имеем уравнение , (68) где р и q — действительные числа. В предыдущем пункте был указан общий метод нахождения решения неоднородного уравнения. В случае уравнения с постоянными коэффициентами частное решение иногда возможно найти проще, с помощью метода подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только в том случае, когда правая часть уравнения имеет следующий вид: . (69) Здесь α и β — постоянные, Рп (х)и Qm (х)— многочлены от х соответственно п- йи т- йстепени, тогда частное решение уравнения следует искать в виде Здесь r равно показателю кратности корня в характеристическом уравнении (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r = 0); Rl (х)и Tl (x)— полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел п и т (). Подчеркнем, что многочлены Rl (х)и Tl (x)должны быть полными (т. е. содержать все степени х от нуля до l), с различными неопределенными коэффициентами при одних и тех же степенях х в обоих многочленах и что при этом, если в выражение функции f (х) входит хотя бы одна из функций cosβx или sinβx, то в и (х)надо всегда вводить обе функции. Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х)вместо у. Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х). На практике приходится сталкиваться с частными случаями функции f (x) рассматриваемой структуры. Перечислим их: 1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) . В качестве пояснения рассмотрим первый частный случай – правая часть уравнения имеет вид . Тогда возможны следующие случаи: а) Число α не является корнем характеристического уравнения . Тогда частное решение нужно искать в виде . (70) Дифференцируя, имеем: Подставляя полученные выраженияв уравнение (68) и сокращая все члены на множитель еkх,будем иметь: . (71) — многочлен степени п, — многочлен степени п- 1, — многочлен степени п- 2. Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены п- й степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно п +1), получим систему п +1 уравнений для определения неизвестных коэффициентов А 0, А 1, А 2,..., Ап.
б) Число α есть простой (однократный) корень характеристического уравнения. Если бы в этом случае частное решение мы стали искать в форме (70), то в равенстве (71) слева получился бы многочлен (п 1)-й степени, так как коэффициент при т. е. a 2 + pa + q, равен нулю, а многочлены и имеют степень, меньшую чем п. Следовательно, ни при каких А 0, А 1, А 2,..., Ап равенство (71) не было бы тождеством. Поэтому в рассматриваемом случае частное решение нужно брать в виде многочлена (п +1)-й степени, но без свободного члена (так как свободный член этого многочлена исчезнет при дифференцировании): . в) Число α есть двукратный корень характеристического уравнения. Тогда в результате подстановки в дифференциальное уравнение функции степень многочлена понижается на две единицы. Действительно, если а — корень характеристического уравнения, то кроме того, так как а является двукратным корнем, то 2 α = - р (так как по известной теореме элементарной алгебры сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с обратным знаком). Итак, 2а+ р= 0. Следовательно, в левой части равенства (71) останется , т.е. многочлен (п -2)-й степени. Для того чтобы в результате подстановки получить многочлен степени п, следует частное решение искать в виде произведения еах на многочлен (п + 2)-й степени. При этом свободный член этого многочлена и член в первой степени исчезнут при дифференцировании; поэтому их можно не включать в частное решение. Итак, в случае, когда а является двукратным корнем характеристического уравнения, частное решение можно брать в форме . Аналогичные рассуждения могут быть представлены при рассмотрении остальных частных случаев функции f (x). Пример 1. Решить уравнение ○ Т.к. корни характеристического уравнения , то общее решение соответствующего однородного уравнения
. Правая часть уравнения имеет вид Р 1(х)· е 1 ·х , причем коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение ищем в виде . Дифференцируя, получим: Подставляя эти выражение в уравнение, будем иметь: или Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,получим: откуда А =- 1/10, В = 9/25. Следовательно, частным решением является , а общим Пример 2. Решить уравнение у" + 4 у = cos 2 х. ○ Характеристическое уравнение имеет корни ; поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид . Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме у*= . Тогда у*'= , y*"= . Подставляя эти выражения производных в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при cos 2 x и sin 2 x, получаем систему уравнений для определения А и В: 4 В = 1, - 4 А =0, откуда А = 0, В = 1/4. Таким образом, общий интеграл данного уравнения: .
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений При решении многих задач требуется найти функции у 1= у 1(х), у 2= у 2(х),…, уп = уп (х),которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент х,искомые функции у 1, у 2 , …, уп и их производные. Рассмотрим систему уравнений первого порядка: (72) Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной. Ограничимся рассмотрением систем такого вида. Проинтегрировать систему - значит определить функции у 1, у 2, …, уп, удовлетворяющие системе уравнений (72) и данным начальным условиям: (73) Рассмотрим нормальную систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями: х = х (t), у = у (t), z = z (t). (74) Зададим начальные условия: . Интегрирование нормальной системы проведем на примере системы (74). Дифференцируем по t первое из уравнений (74): Заменяя производные их выражениями f 1, f 2и f 3из уравнений (74), будем иметь уравнение Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем: Итак, мы получаем следующую систему: (75) Из первых двух уравнений определим функции у = у (t), z = z (t), выразив их через х, t и производные : (76) Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (75), получим уравнение 3-го порядка для определения х = х (t): . (77) Решая это уравнение, определим х (t): . (78) Дифференцируя последнее выражение 2 раза, найдем производные как функции от t, С 1, С 2, С 3. Подставляя эти функции в уравнения (76), определяем у (t), z (t): (79) Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям, остается лишь найти из уравнений (78) и (79) соответствующие значения постоянных С 1, С 2, С 3(подобно тому, как мы это делали в случае одного дифференциального уравнения). Интегрирование системы (72) происходит по аналогичной схеме. В результате получим одно дифференциальное уравнение п -го порядка. Рассмотренный метод решения нормальных систем называется методом исключения. Сформулируем теорему Коши для нормальной системы, взяв в качестве примера систему (74). Пусть функции , i =1, 2, 3 непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеют в этой области непрерывные частные производные: . Тогда каковы бы ни были значения существует единственное решение системы , удовлетворяющее начальным условиям .
Пример. Проинтегрировать систему: (а) при начальных условиях . (б) ○ 1). Дифференцируя по х первое уравнение, будем иметь: . Подставляя сюда выражения и из уравнений (а), получим: или . (в) 2). Из первого уравнения системы (а) находим (г) и подставляем в только что полученное уравнение; получаем: или . (д) Общее решение последнего уравнения есть (е) и на основании (г) . (ж) Подберем постоянные С 1 и С 2 так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): . Тогда из равенства (е) и (ж) получаем: 1= С 1 - 9, 0 = С 2 - 2 С 1 + 14, откуда С 1= 10, С 2= 6. Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (б), имеет вид .●
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 141; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.226.155.151 (0.034 с.) |