Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)

Дифференциальное урав­нение п -го порядка символически можно записать в виде

. (33)

 

или, если его можно разрешить относительно п -й производной,

( 33 ')

Для уравнений, которые можно разрешить относительно высшей производной имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответст­вующей теореме о решении уравнения первого порядка.

Теорема. Если в уравнении

функция и ее частные производные по аргу­ментам у, у ',..., у ^{(п -1)} непрерывны в некоторой области D пространства(п +1) мерности, содержа­щей значения

,

то существует и притом единственное решение у = у (х) уравнения, удовлетворяющее условиям

(34)

Эти условия называются начальными условиями.

Если рассматривать уравнение второго порядка

то начальными условиями при для решения будут условия

,

где — заданные числа. Геометрический смысл этих усло­вий следующий: через заданную точку плоскости с задан­ным тангенсом угла наклона касательной проходит единственная кривая. Из этого, далее, следует, что если мы будем задавать различные значения при постоянных и то получим бесчис­ленное множество интегральных кривых с различными углами наклона, проходящих через заданную точку.

Определение. Общим решением дифференциального уравне­ния п -го порядка называется, функция

зависящая от п произвольных постоянных С ₁, С ₂,..., С_п и такая, что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоян­ных С ₁, С ₂,..., С_п;

б) при заданных начальных условиях

постоянные С ₁, С ₂,..., С_п можно подобрать так, что функция будет удовлетворять этим условиям (пред­полагая, что начальные значения принадлежат к области D, где выполняются условия существования решения).

Соотношение вида , неявно опреде­ляющее общее решение, называется общим интегралом дифферен­циального уравнения.

Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкрет­ных значениях постоянных С ₁, С ₂,..., С_п называется частным решением. График частного решения называется интегральной кри­вой данного дифференциального уравнения.

Далее рассмотрим методы решения некоторых видов д.у. высших порядков.

I. Уравнение вида

Простейшим уравнением п -го порядка является уравнение вида

(35)

Найдем общий интеграл этого уравнения.

Интегрируя по х левую и правую части, получим:

.

Интегрируя еще раз, получим:

,

Продолжая далее, получим, (после п интегрирований), вы­ражение общего интеграла:

,

где

.

Так как являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано так:

.

Пример. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

○ Найдем общее решение последовательным интегрированием данного уравнения:

Чтобы найти частное решение, удовлетворяю­щее данным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения С ₁ и С ₂. Из условия находим С ₂ = 0. Из условия находим С ₁= l.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

.●

II. Уравнение вида

, (36)

не содержит явным образом искомой функции у.

Порядок такого уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение

.

Таким образом, порядок уравнения понизился на k единиц.

Уравнение второго порядка, разрешенное относительно наивысшей производной, данного вида имеет вид

. (37)

Рассмотрим его решение. Обозначим производную через z, тогда . Подставляя эти выражения производных в уравнение (37), полу­чим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции z от х. Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение:

,

а затем из соотношения получаем общий интеграл уравне­ния (37):

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

○ Полагаем , преобразуем уравнение к виду

или .

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая , откуда , получим уравнение

.

В полученном уравнении разделяем переменные и интегрируем:

.

Т.к. , то имеем , или , откуда . Следовательно,

(выше был использован метод интегрирования «по частям»).

III. Уравнение вида

, (38)