Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0(27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если М (х, у)и N (х, у)— непрерывно-дифференцируемые в области D функции, для которых выполняется соотношение

, (28)

Интегрирование уравнений в полных дифферен­циалах. Докажем, что если левая часть уравнения (27) есть полный дифференциал, то выполняется условие (28), и обратно — при выпол­нении условия (28) левая часть уравнения (27) есть полный дифферен­циал некоторой функции u(x, у),т. е. уравнение (27) имеет вид

du (x, y) = 0(29)

и, следовательно, его общий интеграл есть и (х, у) = С.

Предположим сначала, что левая часть уравнения (27) есть пол­ный дифференциал некоторой функции и (х, у),т. е.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = du= dx+ dy;

тогда

, . (30)

Дифференцируя первое соотношение по у, а второе — по х, по­лучим:

.

Предполагая непрерывность вторых производных, будем иметь , т.е. равенство (28) является необходимым условием для того, чтобы левая часть уравнения (27) была полным дифференциалом некоторой функции и (х, у). Покажем, что это условие является и до­статочным, т. е. что при выполнении равенства (28) левая часть уравнения (27) есть полный дифференциал некоторой функции и (х, у). Из соотношения

находим:

,

где х ₀— абсцисса любой точки из области существования решения. При интегрировании по х мы считаем у постоянным и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от у. Подбе­рем функцию С (у)так, чтобы выполнялось второе из соотношений (30). Для этого продифференцируем обе части последнего равенства по у и результат приравняем к N (x, y): ;

но в силу (28) можем написать:

т.е. .

Следовательно,

,

или

.

Таким образом, функция и (х, у) будет иметь вид

. (31)

Здесь P (x ₀, y ₀) — точка, в окрестности которой существует решение
дифференциального уравнения (27).

Итак, общий интеграл уравнения (27) имеет вид

. (32)

 

Пример. Дано уравнение

.

○ Проверяем условие (28). Обозначим

, ;

тогда

.

Условие (28) при выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть полный дифференциал некоторой неизвестной функции и (х, у).

Найдем общий интеграл уравнения по формуле (32) взяв х ₀=0, у ₀=1.

, или .

Подставляя пределы интегрирования, находим

, или .●

Замечание. При решении уравнений в полных дифференциалах вместо использования формулы (32) можно непосредственно применить алгоритм, с помощью которого она получена. Поясним этот метод решения на предыдущем примере.

○ Так как , то следовательно,

.

Дифференцируя это соотношение по у и учитывая, что

,

находим:

;

следовательно,

, тогда .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения есть

.●