Формулировка логарифмического критерия

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии, ЛАХ разомкнутой системы должна пересечь ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перейдёт через значение – π. То есть, на частоте среза ω_ср величина фазы φ должна быть меньше значения | – π |.

Запас устойчивости по амплитуде Δ L – это величина допустимого увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе Δ φ – это величина допустимого увеличения запаздывания по фазе разомкнутой системы на частоте среза ω_ср, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья, амплитуды А (w) и фазы φ (w) которых приведены в пункте 3.3. Допускается использовать асимптотические ЛАХ, которые графически представляют собой ломаные прямые линии (табл. 3.4).

 

Таблица 3.4

 

Асимптотические логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев

 

 

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы:

; (3.38)

. (3.39)

Зная выражения амплитуд А (w) и фаз φ (w) частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2), представим их в логарифмическом масштабе (табл. 3.5).

Таблица 3.5

 

Выражения логарифмических амплитуд L (w) и фаз φ (w) передаточных функции звеньев

 

Передаточная функция звена	Амплитуда L (w)	Фаза φ (w)

 

Вычисляем значения логарифмических амплитуд L (w) и фаз φ (w) для каждого звена при изменении часты w от 0 до значения, при котором результирующая ЛФХ пересекает значение – π. Также вычислим амплитуду L_РАЗ (w) и фазу φ_РАЗ (w) передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ (jω). Шаг изменения частоты w принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.6

 

Значения логарифмических амплитуд L (w) и фаз φ (w) передаточных функции звеньев

 

Частота ω	Логарифмические амплитуды	Общая ЛАХ LРАЗ (ω)	Фазы звеньев	Общая ЛФХ φРАЗ (ω)
L 1(ω)	L 2(ω)	L 3(ω)	φ 1(ω)	φ 2(ω)	φ 3(ω)
0,1000	7,3756	-0,0024	-0,0041	7,3691	-0,0200	-0,0056	-0,0094	-0,0350
0,3000	7,3068	-0,0217	-0,0367	7,2485	-0,0599	-0,0167	-0,0283	-0,1049
0,5000	7,1724	-0,0600	-0,1012	7,0113	-0,0997	-0,0278	-0,0471	-0,1746
0,7000	6,9783	-0,1167	-0,1962	6,6654	-0,1391	-0,0389	-0,0659	-0,2439
0,9000	6,7323	-0,1913	-0,3197	6,2213	-0,1781	-0,0500	-0,0847	-0,3128
1,1000	6,4431	-0,2828	-0,4693	5,6911	-0,2166	-0,0611	-0,1034	-0,3810
1,3000	6,1198	-0,3900	-0,6422	5,0875	-0,2544	-0,0722	-0,1220	-0,4485
1,5000	5,7706	-0,5119	-0,8357	4,4231	-0,2915	-0,0832	-0,1405	-0,5152
1,7000	5,4032	-0,6471	-1,0467	3,7094	-0,3277	-0,0942	-0,1590	-0,5809
1,9000	5,0240	-0,7944	-1,2724	2,9572	-0,3631	-0,1052	-0,1773	-0,6457
2,1000	4,6381	-0,9524	-1,5102	2,1755	-0,3976	-0,1162	-0,1955	-0,7094
2,3000	4,2499	-1,1198	-1,7576	1,3725	-0,4311	-0,1272	-0,2136	-0,7719
2,5000	3,8625	-1,2953	-2,0123	0,5549	-0,4636	-0,1381	-0,2315	-0,8333
2,7000	3,4785	-1,4778	-2,2723	-0,2716	-0,4951	-0,1490	-0,2493	-0,8935
2,9000	3,0997	-1,6661	-2,5360	-1,1023	-0,5256	-0,1599	-0,2669	-0,9524
3,1000	2,7275	-1,8591	-2,8017	-1,9334	-0,5550	-0,1707	-0,2844	-1,0101
4,1000	0,9875	-2,8660	-4,1249	-6,0034	-0,6868	-0,2241	-0,3689	-1,2799
5,1000	-0,5410	-3,8848	-5,3816	-9,8075	-0,7953	-0,2763	-0,4483	-1,5199
6,1000	-1,8801	-4,8698	-6,5407	-13,2906	-0,8842	-0,3270	-0,5220	-1,7332
7,1000	-3,0619	-5,8010	-7,5994	-16,4623	-0,9572	-0,3760	-0,5900	-1,9232
8,1000	-4,1146	-6,6726	-8,5655	-19,3527	-1,0178	-0,4232	-0,6523	-2,0932
9,1000	-5,0614	-7,4852	-9,4493	-21,9958	-1,0684	-0,4684	-0,7092	-2,2460
10,1000	-5,9202	-8,2424	-10,2611	-24,4237	-1,1111	-0,5117	-0,7610	-2,3838
11,1000	-6,7052	-8,9490	-11,0101	-26,6643	-1,1476	-0,5529	-0,8082	-2,5087
12,1000	-7,4275	-9,6097	-11,7045	-28,7417	-1,1789	-0,5922	-0,8512	-2,6223
13,1000	-8,0961	-10,2290	-12,3509	-30,6761	-1,2062	-0,6295	-0,8903	-2,7260
14,1000	-8,7182	-10,8113	-12,9552	-32,4847	-1,2300	-0,6649	-0,9260	-2,8209
15,1000	-9,2997	-11,3600	-13,5221	-34,1818	-1,2510	-0,6984	-0,9585	-2,9080
16,1000	-9,8455	-11,8786	-14,0558	-35,7799	-1,2697	-0,7301	-0,9884	-2,9882
17,1000	-10,3595	-12,3699	-14,5598	-37,2892	-1,2863	-0,7602	-1,0157	-3,0622
18,1000	-10,8453	-12,8364	-15,0370	-38,7188	-1,3013	-0,7886	-1,0408	-3,1307
19,1000	-11,3058	-13,2804	-15,4902	-40,0764	-1,3148	-0,8154	-1,0640	-3,1942
20,1000	-11,7433	-13,7038	-15,9216	-41,3687	-1,3270	-0,8409	-1,0853	-3,2532
21,1000	-12,1601	-14,1084	-16,3330	-42,6015	-1,3381	-0,8649	-1,1051	-3,3081
22,1000	-12,5581	-14,4956	-16,7262	-43,7800	-1,3483	-0,8877	-1,1234	-3,3594

 

По таблице 3.6 строим логарифмические частотные характеристики системы (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы (ЛАХ и ЛФХ)

 

По частотным характеристикам (рис. 3.3) графически определим запасы устойчивости системы: Δ L = **** дБ и Δ φ = **** рад.!!!!!!!

Вывод: замкнутая система устойчива, так как ЛАХ разомкнутой системы пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФХ переходит через значение – π.