Раздел 2. Математическое описание сау

Для проведения анализа системы необходимо составить математическую модель САУ, которая будет состоять из передаточных функция отдельных звеньев. При математическом описании воспользуемся методами декомпозиции и композиции системы. Принципиальная схема САУ (рис. 1.1) может быть представлена в виде структурной блок-схемы (рис. 2.1), состоящей из отдельных элементов – звеньев системы. Каждое звено имеет свое математическое описание в виде дифференциального уравнения.

 

Рис. 2.1. Блок–схема системы стабилизации угловой скорости ДПТ

 

Дифференциальные уравнения звеньев системы могут быть составлены с применением известных в электромеханике законов. [**]:

1. ЭУ – электронный усилитель:

, (2.1)

где k_ЭУ – коэффициент электронного усилителя.

2. Г – генератор:

, (2.2)

где k ₁ – коэффициент генератора, Т ₁ – постоянная времени генератора.

3. М – двигатель постоянного тока:

, (2.3)

где k_Д – коэффициент двигателя по управляющему воздействию, k_f – коэффициент двигателя по возмущающему воздействию, Т_М – электромеханическая постоянная времени двигателя, Т_Я – электромагнитная постоянная времени двигателя.

4. ТГ – тахогенератор:

. (2.4)

где k_ТГ – коэффициент тахогенератора.

По уравнениям звеньев САУ получим их передаточные функции. Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью АСР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного сигнала Y (p) к изображению входного воздействия X (p) при нулевых начальных условиях:

, (2.5)

где р – оператор Лапласа.

Передаточные функции звеньев системы получаем, используя определение передаточной функции и выражение (2.5):

1. ЭУ – электронный усилитель:

. (2.6)

2. Г – генератор:

; (2.7)

. (2.8)

3. М – двигатель постоянного тока:

Уравнение двигателя постоянного тока в операторной форме имеет вид:

. (2.9)

Для двигателя постоянного тока входным воздействием является напряжение U_Д, возмущающим воздействием момент M_Н, а выходным угловая скорость ω_Д (рис. 2.1), таким образом можно применить принцип наложения (суперпозиции) и выделить следующие два случая:

· сигнал M_Н (p) = 0;

· сигнал U_Д (p) = 0.

Тогда, для двигателя постоянного тока, имеющего входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции

по управлению:

; (2.10)

по возмущению:

. (2.11)

Тогда, общая передаточная функция двигателя постоянного тока:

. (2.12)

4. ТГ – тахогенератор:

. (2.13)

5. ЭС – элемент сравнения:

. (2.14)

 

Раздел 3. Исследование САУ без корректирующего звена