Формулировка критерия Найквиста

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы на комплексной плоскости [ + 1; j ] при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывала точку с координатами (-1; j 0). Если АФЧХ разомкнутой системы проходитчерез точку с координатами (-1; j 0), то система находится на границе устойчивости.

Для построения АФЧХ разомкнутой системы необходимо перейти к частотной форме записи передаточной функции разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы:

; (3.31)

. (3.32)

Проведем преобразования, выделив общий коэффициент усиления разомкнутой системы и представив знаменатель передаточной функции двигателя постоянного тока как произведение двух слагаемых:

; (3.33)

; (3.34)

. (3.35)

Запишем выражения амплитуд А (w) и фаз φ (w) частотных передаточных функции для каждого звена (табл. 3.2). Вычисляем значения амплитуд А (w) и фаз φ (w) при изменении часты w от 0 до значения, при котором U_РАЗ (ω) и V_РАЗ (ω) станут равны нулю. Также вычислим амплитуду А_РАЗ (w) и фазу φ_РАЗ (w) передаточной функции разомкнутой системы, а также вещественную U_РАЗ (ω) и мнимую V_РАЗ (ω) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ (jω). Шаг изменения частоты w принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.2

 

Выражения амплитуд А (w) и фаз φ (w) передаточных функции звеньев системы

 

Передаточная функция звена	Амплитуда А (w)	Фаза φ (w)

 

Таблица 3.3

 

Значения амплитуд А (w) и фаз φ (w) передаточных функции звеньев системы

 

Частота ω	Амплитуды звеньев	Фазы звеньев	Амплитуда WРАЗ (jω)	Фаза WРАЗ (jω)	Действит. часть WРАЗ (jω)	Мнимая часть WРАЗ (jω)
A 1(ω)	A 2(ω)	A 3(ω)	φ 1(ω)	φ 2(ω)	φ 3(ω)	AРАЗ (ω)	φРАЗ (ω)	UРАЗ (ω)	VРАЗ (ω)
0,0	2,34	1,00	1,00	0,00	0,00	0,00	2,34	0,00	2,34000	0,00000
1,0	2,14	0,97	0,96	-0,20	-0,06	-0,09	1,99	-0,35	1,86907	-0,67583
2,0	1,74	0,90	0,85	-0,38	-0,11	-0,19	1,34	-0,68	1,04721	-0,84280
4,0	1,14	0,73	0,63	-0,67	-0,22	-0,36	0,52	-1,25	0,16323	-0,49836
6,0	0,82	0,58	0,48	-0,88	-0,32	-0,51	0,22	-1,71	-0,03187	-0,22272
8,0	0,63	0,47	0,38	-1,01	-0,42	-0,65	0,11	-2,08	-0,05394	-0,09728
10,0	0,51	0,39	0,31	-1,11	-0,51	-0,76	0,06	-2,37	-0,04428	-0,04302
12,0	0,43	0,33	0,26	-1,18	-0,59	-0,85	0,04	-2,61	-0,03227	-0,01892
14,0	0,37	0,29	0,23	-1,23	-0,66	-0,92	0,02	-2,81	-0,02293	-0,00785
16,0	0,32	0,26	0,20	-1,27	-0,73	-0,99	0,02	-2,98	-0,01634	-0,00266
18,0	0,29	0,23	0,18	-1,30	-0,79	-1,04	0,01	-3,12	-0,01178	-0,00021
20,0	0,26	0,21	0,16	-1,33	-0,84	-1,08	0,01	-3,25	-0,00862	0,00092
22,0	0,24	0,19	0,15	-1,35	-0,89	-1,12	0,01	-3,35	-0,00641	0,00139
24,0	0,22	0,17	0,13	-1,37	-0,93	-1,15	0,01	-3,45	-0,00484	0,00153
26,0	0,20	0,16	0,12	-1,38	-0,97	-1,18	0,00	-3,53	-0,00371	0,00152
28,0	0,19	0,15	0,12	-1,39	-1,00	-1,21	0,00	-3,60	-0,00289	0,00143
30,0	0,17	0,14	0,11	-1,41	-1,03	-1,23	0,00	-3,67	-0,00227	0,00132
32,0	0,16	0,13	0,10	-1,42	-1,06	-1,25	0,00	-3,73	-0,00181	0,00120
34,0	0,15	0,12	0,10	-1,42	-1,08	-1,27	0,00	-3,78	-0,00146	0,00108
36,0	0,15	0,12	0,09	-1,43	-1,11	-1,28	0,00	-3,82	-0,00119	0,00096
38,0	0,14	0,11	0,09	-1,44	-1,13	-1,30	0,00	-3,87	-0,00097	0,00086
40,0	0,13	0,11	0,08	-1,45	-1,15	-1,31	0,00	-3,91	-0,00081	0,00077
42,0	0,12	0,10	0,08	-1,45	-1,17	-1,32	0,00	-3,94	-0,00067	0,00069
44,0	0,12	0,10	0,07	-1,46	-1,18	-1,33	0,00	-3,97	-0,00057	0,00062
46,0	0,11	0,09	0,07	-1,46	-1,20	-1,34	0,00	-4,00	-0,00048	0,00056
48,0	0,11	0,09	0,07	-1,47	-1,21	-1,35	0,00	-4,03	-0,00041	0,00050
50,0	0,10	0,08	0,06	-1,47	-1,23	-1,36	0,00	-4,06	-0,00035	0,00046
52,0	0,10	0,08	0,06	-1,47	-1,24	-1,37	0,00	-4,08	-0,00030	0,00041
54,0	0,10	0,08	0,06	-1,48	-1,25	-1,38	0,00	-4,10	-0,00026	0,00037
56,0	0,09	0,08	0,06	-1,48	-1,26	-1,38	0,00	-4,13	-0,00023	0,00034
58,0	0,09	0,07	0,06	-1,48	-1,27	-1,39	0,00	-4,14	-0,00020	0,00031
60,0	0,09	0,07	0,05	-1,49	-1,28	-1,40	0,00	-4,16	-0,00017	0,00028
62,0	0,08	0,07	0,05	-1,49	-1,29	-1,40	0,00	-4,18	-0,00015	0,00026
64,0	0,08	0,07	0,05	-1,49	-1,30	-1,41	0,00	-4,20	-0,00014	0,00024
65,0	0,08	0,07	0,05	-1,49	-1,30	-1,41	0,00	-4,20	-0,00013	0,00023

По значениям вещественной U_РАЗ (ω) и мнимой V_РАЗ (ω) части частотной передаточной функции разомкнутой системыиз таблицы 3.1 строим годограф Найквиста (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Годограф Найквиста (АФЧХ)

 

Вывод: замкнутая система устойчива, так как АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j 0).