Формулировка критерия Михайлова

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на положительной действительной полуоси комплексной плоскости [ + 1; j ] и огибал против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – старший показатель степени характеристического полинома замкнутой системы.

В пункте 3.1 был получен характеристический полином такой замкнутой системы D_ЗАМ (p):

. (3.20)

Тогда получим частотный годограф Михайлова путем перевода характеристического полинома замкнутой системы (3.20) в частотную область:

. (3.21)

Получим действительную и мнимую часть частотного годографа Михайлова (3.21), возведя частотный оператор jw в соответствующую степень:

. (3.22)

; (3.23)

. (3.24)

Вычисляем значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова при изменении часты w от 0 до требуемого значения, при котором можно сделать вывод об устойчивости системы. Шаг изменения частоты w принимаем произвольный с учетом удобства восприятия графика. Вычисления проводим в MS Excel.

Таблица 3.1

 

Значения действительной и мнимой части частотного годографа Михайлова

 

Частота сигнала w	Действительная часть UD (w)	Мнимая часть VD (w)
	3,34
	3,30475	0,34895
	3,199	0,6916
	3,02275	1,02165
	2,776	1,3328
	2,45875	1,61875
	2,071	1,8732
	1,61275	2,08985
	1,084	2,2624
	0,48475	2,38455
	-0,185	2,45
	-0,92525	2,45245
	-1,736	2,3856
	-2,61725	2,24315
	-3,569	2,0188
	-4,59125	1,70625
	-5,684	1,2992
	-6,84725	0,79135
	-8,081	0,1764
	-9,38525	-0,55195

 

По таблице 3.1 строим годограф Михайлова (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Годограф Михайлова

Вывод: замкнутая система устойчива, т.к. годограф Михайлова начинается на положительной действительной полуоси и огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно 3 квадранта, где 3 – порядок характеристического уравнения.

Исследование САУ по критерию Найквиста

Критерий Г. Найквиста позволяет по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы (АФЧХ) оценить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью.

АФЧХ можно построить на комплексной плоскости [ + 1; j ] или в полярной системе координат, если откладывать угол фазы φ (w) и в этом направлении откладывать вектор длиной А (w).

Амплитуда передаточной функции разомкнутой системы А_РАЗ (w) равна произведению амплитуд отдельных звеньев, а фаза φ_РАЗ (w) – сумме фаз звеньев:

; (3.25)

. (3.26)

Найти амплитуду А (w) и фазу φ (w) можно по вещественной U (ω) и мнимой V (ω) составляющим частотной передаточной функции W (jω) звена.

Амплитуда А (w) и фаза φ (w) частотной передаточной функции W (jω):

; (3.27)

. (3.38)

Вещественную U_РАЗ (ω) и мнимую V_РАЗ (ω) составляющую частотной передаточной функции разомкнутой системы W_РАЗ (jω) можно определить по амплитуде А_РАЗ (w) и фазе φ_РАЗ (w):

; (3.29)

. (3.30)