Противоположными (контрарными) являются суждения Л и е, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными.

Истинность одного из противоположных суждений определяет ложность другого: А® ù Е; Е®ùА. Например, истинность суждения «Все офицеры — военнослужащие» определяет ложность суждения «Ни один офицер не является военнослужащим». При ложности же одного из противоположных суждений другое остается неопреде­ленным — оно может быть как истинным, так и ложным: ù А®(Е v ù Е); ùЕ®(А v ù А). Так, например, при ложности сужде­ния «Все птицы улетают зимой в теплые края» ему противополож­ное «Ни одна птица не улетает зимой в теплые края» тоже оказыва­ется ложным. В другом случае при ложности суждения «Ни один судья не является юристом» ему противоположное «Все судьи — юристы» будет истинным.

2. Противоречащими (контрадикторными) являются сужде­ния А и О, Е и I, которые одновременно не могут быть ни истин­ными, ни ложными.

Для противоречия характерна строгая, или альтернативная не­совместимость: при истинности одного из суждений другое всегда будет ложным; при ложности первого второе будет истинным. Отно­шения между такими суждениями регулируются законом исключен­ного третьего.

Если А признается истинным, то О будет ложным (А®ù О); при истинности Е будет ложным I (Е® ù I). И наоборот: при ложности А будет истинным О (ù А®Ю); а при ложности Е будет истинным I (ùЕ® I).

Например, если признается истинным суждение «Все принципи­альные люди признают свои ошибки», то ложным будет ему альтер­нативное: «Некоторые принципиальные люди не признают своих ошибок».

Следует отметить, что несовместимые единичные суждения могут находиться лишь в отношении противоречия и не могут находиться в отношении противоположности, ибо каждому от­дельному предмету может быть либо присущ, либо не присущ оп­ределенный признак. Например, суждения «Суд вынес обвинитель­ный приговор по делу Л.» и «Суд не вынес обвинительного при­говора по делу Л.» находятся в отношении противоречия: если первое суждение истинно, то признается ложность второго, и на­оборот.

Сложные суждения

Сложные суждения также могут быть сравнимыми и несравни­мыми.

Несравнимые — это суждения, которые не имеют общих пропо­зициональных переменных. Например, р Ù q и m Ù n.

Сравнимые — это суждения, которые имеют одинаковые пропо­зиционные переменные (составляющие) и различаются логически­ми связками, включая отрицание. Например, сравнимыми являются следующие два суждения: «Норвегия или Швеция имеют выход в Балтийское море» (р v q); «Ни Норвегия, ни Швеция не имеют вы­хода в Балтийское море» (ù р Ù ùq). Хотя эти суждения различны по логической форме (первое из них — дизъюнктивное суждение, а второе — конъюнкция отрицаний, вместе с тем они сравнимы, по­скольку включают одинаковые составляющие (р и q). Сравнимы также следующие пары суждений: 1) р®q и ùp v q; 2) ù r Ù s и ù (r Ù s); 3) ù m Ùù n и ù (m Ù n). Наличие в каждой паре общих пере­менных позволяет сопоставлять их по смыслу и устанавливать истин­ность отношения.

Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и не­совместимыми.

Отношение совместимости.

К совместимым относятся такие сравнимые суждения, кото­рые одновременно могут быть истинными. Как и в случае простых суждений, различают три вида совместимости сложных суждений: эквивалентность, частичная совместимость и подчинение.

1. Эквивалентные — это суждения, которые принимают одни и те значения, т.е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.

На таблице (рис. 38) показано эквивалентное отношение между сложными суждениями: А и В — схемы суждений; знак(º)— отно­шение эквивалентности.

 

Рис 38

Рис 39

 

 

1-я и 4-я строки таблицы показывают, что А и В одновременно принимают одинаковые значения — И и Л; зачеркнутые 2-я и 3-я строки показывают, что эквивалентные суждения одновременно не могут принимать различные значения.

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные суждения через другие — конъюнкцию через дизъюнкцию или имп­ликацию, и наоборот. Приведем четыре известные эквивалентности, которые являются законами логики.

1) Выражение конъюнкции через дизъюнкцию:

ù(АÙВ)º ùА v ù В

2) Выражение дизъюнкции через конъюнкцию: "1 (A ù(АÚВ)º ùА Ù ù В

Эти две эквивалентности называются законами де Моргана.

3) Выражение импликации через конъюнкцию:

ù(А®В)º ùА Ù ù В

4) Выражение импликации через дизъюнкцию: А®Вºù A v B

2. Частичная совместимость характерна для суждений, кото­рые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одно­временно ложными.

Отношение частичной совместимости для сложных суждений по­казано на таблице (рис. 39), где А и В — схемы сложных суждений; (v) — знак частичной совместимости. 1-я строка таблицы говорит об одновременной истинности А и В; 2-я и 3-я — несовпадение значе­ний; 4-я строка зачеркнута, поскольку исключается одновременная ложность А и В.

3. Подчинение между суждениями имеет место в том случае, когда при истинности подчиняющего подчиненное всегда будет истинным.

На таблице (рис. 40) показано отношение подчинения между сложными суждениями: А и В — схемы суждений; (®) — знак подчинения. 1-я строка показывает, что в случае истинности А ис­тинным является и В. В 3-й и 4-й строках А является ложным, а В принимает произвольные значения. 2-я строка в таблице зачеркнута, поскольку отношение подчинения исключает ложность подчинен­ного В при истинности подчиняющего А.

Отношение логического подчинения, позволяющее по истиннос­ти подчиняющего суждения определить истинность подчиненного,

составляет основу фундаментального в науке логики понятия логи­ческого следования, регулирующего все виды рассуждений.

Отношение несовместимости.

Несовместимыми являются суждения, Которые одновременно не могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна — противоположность, другая — противоречие.

Противоположность — отношение между суждениями, кото­рые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одно­временно ложными.

В таблице (рис. 41) показано отношение противоположности

между суждениями: А и В — схемы суждений; () — знак логичес­кой противоположности. 1-я строка таблицы зачеркнута. Это озна­чает, что оба суждения одновременно не могут быть истинными; 2-я и 3-я строки показывают, что суждения могут принимать исключаю­щие значения; 4-я строка — оба суждения могут быть ложными. Это значит, что при ложности одного из противоположных суждений нельзя установить значения другого: оно может быть как истинным, так и ложным.

2. Противоречие — отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет истинным.

Противоречащие отношения между сложными суждениями по­казаны на таблице (рис. 42); А и В — схемы сложных суждений (Ú)— знак отношения противоречия.

Вычеркнутые 1-я и 4-я строки показывают, что А и В могут принимать лишь альтернативные значения.

Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию. Так, например, для р противоречащим будет ù р; для конъюнкции р Ù q противоречием будет ее отрицание — ù (р Ù q) и т.п.Обобщенная таблица логических отношений между суждениями представлена на рис. 43.

 

 

Сопоставление суждений в дискуссиях. Отчетливое представление об отношени­ях, в которых могут находиться суждения, позволяет логически грамотно анализиро­вать высказывания участников дискуссий. Встречаются ситуации, когда логический анализ показывает совместимость различных по структуре суждений. Нередко это случается с частными суждениями. Пропонент утверждает, что «Некоторые S есть Р»; оппонент настаивает, что «Некоторые S не есть Р». На поверку же выходит, что эти суждения не исключают друг друга, а являются частично совместимыми и оба могут оказаться истинными.

В спорах и дискуссиях могут смешиваться противоречащие и противоположные суждения. Например, обвинитель утверждает, что в рассматриваемом случае имело место убийство (р), которое совершено умышленно (q). Защитник не отрицает факта убийства (р), но считает, что оно было совершено без умысла (ù q). Каждый из них

считает, что эти утверждения — (р Ù q) и (р Ù | q) — исключают друг друга как аль­тернативные. В действительности же оказывается, что эти высказывания находятся в отношении противоположности.

В этом легко убедиться с помощью таблицы (рис. 44). Анализ показывает, что эти высказывания несовместимы, поскольку ни в одной строке не являются одновремен­но истинными. Вместе с тем оба они могут быть ложными (3-я и 4-я строки), значит, они находятся в отношении противоположности. Отсюда следует, что если будет показана в целом несостоятельность утверждения обвинителя, то это еще не означает правоту защитника. Точно так же опровержение утверждений защитника логически не обязывает принимать точку зрения обвинителя Может оказаться, что оба утверж­дения ложны и задача сведется к поиску нового объяснения фактам.