Различные формы записи уравнения Шредингера.

Квантовая механика

Водородоподобных систем.

Полная система квантовых чисел. Принцип Паули. К-, L-, М- оболочки атома. Рентгеновский спектр. Закон Мозли. Энергетический спектр атомов и молекул. Заполнение электронных оболочек и периодическая система элементов.

 

Решение задачи об энергетических уров­нях электрона для атома водорода сводится к задаче о движении элект­рона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодейст­вия электрона с ядром, обладающим за­рядом 2е (для атома водорода Z=1),

,

где r — расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удов­летворяющей стационарному уравнению Шредингера:

где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме.

1. Энергия. Из уравнения Шредингера

Решение уравне­ния Шредингера для атома водорода при­водит к появлению дискретных энергетиче­ских уровней E ₁, E ₂, E ₃ и т д. Самый нижний уро­вень Е₁— основной,

все осталь­ные (E_n>E₁ n=2, 3,...) — возбужденные.

Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетиче­ские уровни располагаются теснее и при n=¥ E_¥ =0. При E>0 движение элек­трона является свободным; Энергия ионизации атома водорода равна

E_i=-E₁= те⁴/ (8h²e²₀) =13,55 эВ.

1. Квантовые числа. В квантовой ме­ханике доказывается, что уравнению Шре­дингера (223.2) удовлетворяют с y_{n m l}(r, q, j), определяемые тремя квантовыми числами:

главным n ,

орбитальным l.

магнитным m_l .

Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n=1,2,3,....

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механиче­ский орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произволь­ным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l — орбитальное квантовое число, ко­торое при заданном n принимает значения

l= 0, 1,..., (n-1),

т. е. всего n значений, и определяет мо­мент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L_e момента им­пульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление z внешне­го магнитного поля принимает квантован­ные значения, кратные h

где m_l — магнитное квантовое число,

кото­рое при заданном l может принимать зна­чения

m_l=0, ±1, ±2,..., ±l,

т. е. всего 2 l +1 значений.

Таким образом, магнитное квантовое число m_l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор мо­мента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l +1 ориентации.

Квантовые числа n и l характеризуют раз­мер и форму электронного облака, а кван­товое число m_l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, ха­рактеризующееся квантовыми числами l =0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-электроном),

l =1 — р-состоянием,

l =2 — d-состоянием,

l=3 — f-состоянием и т.д.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитально­го квантового числа. Например, электроны в состояниях n =2 и l =0 и 1 обознача­ются соответственно символами 2s и 2р.

3. Спектр. Квантовые числа n, l и m_l позволяют более полно описать спектр испускания (поглощения) атома водоро­да, полученный в теории Бора.

В квантовой механике вводятся прави­ла отбора, ограничивающие число воз­можных переходов электронов в атоме, связанных с испусканием и поглощением света.

Теоретически доказано и экспери­ментально подтверждено, что для дипольного излучения электрона, движущегося в центрально-симметричном поле ядра, могут осуществляться только такие пере­ходы, для которых:

1) изменение орби­тального квантового числа Dl удовлетво­ряет условию Dl=±1;

2) изменение магнитного квантового чис­ла Dm_l удовлетворяет условию

Dm_l=0, ±1.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному n, и правило отбора, рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 304):

 

серии Лаймана соответствуют переходы

np®1s (n=2,3,...);

Серии Бальмера.

np®2s, ns®-2p, nd®2p (n=3, 4,...)

И т. д.