Часть II. Расчёт балки на прочность и жёсткость

 

Наименование темы: «Расчет балки на прочность и жесткость».

Цель работы: освоение студентами основных методов расчета балок (стержней) на прочность и жесткость.

Исходные данные:

Условие задачи, расчетные схемы балок приведены в приложении Б, значение параметров - в таблице 2 согласно заданию.

 

Основные расчётные формулы

При изгибе стержней в сечениях возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q. Они определяются методом сечений. Величина поперечной силы в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних поперечных сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Величина изгибающего момента М в сечении равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил по одну сторону от сечения. Между этими внутренними силовыми факторами имеется следующая связь:

поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по координате, направленной вдоль оси балки

. (2.1)

В свою очередь, между поперечной силой Q и распределённой внешней нагрузкой q имеется аналогичная взаимосвязь

. (2.2)

Чтобы изучить работу балки от внешних сил и реакции, необходимо построить эпюры (графики) распределения внутренних силовых факторов – поперечной силы и изгибающего момента по её длине.

Сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент, называют опасным. В каждой точке балки возникает нормальное напряжение σ, которое линейно изменяется по высоте сечения.

(2.3)

где у - координата слоя балки, в котором определяются напряжения;

I_х – осевой момент инерции сечения относительно главной оси.

Наибольшее напряжение возникает в нижнем и верхнем слоях сечения

(2.4)

где - момент сопротивления изгибу относительно оси х.

Прочность балки оценивается по максимальному нормальному напряжению в опасном сечении. Условия прочности балки имеют вид неравенства:

 

(2.5)

где σ_П – предельное напряжение материала, из которого изготовлена балка; [ n ] – коэффициент запаса прочности.

В сечениях балки возникает касательное напряжение, которое определяется по высоте не линейно (2.6)

(2.6)

где b – ширина слоя сечения;

– статический момент площади над слоем.

Касательные напряжения равны нулю в верхнем и нижнем слоях балки и имеют наибольшее значение в слое, проходящем через центр тяжести сечения. Они учитываются при оценке балки на межслойный сдвиг. Касательное напряжение между слоями балки не должны превышать допускаемого

(2.7)

где - предельное напряжение (или - предел текучести, или - предел прочности при сдвиге).

При изгибе балки её сечения имеют поперечные перемещения у, которые называют прогибами, и угловые перемещения .

Между прогибом, углом поворота и изгибающим моментом в этом сечении имеются следующие дифференциальные связи:

(2.8)

где E·I_х - параметр, характеризующий жесткость балки на изгиб.

Для дифференциальных уравнений (2.8) получены универсальные решения, пригодные для любой балки с прямой осью и постоянной жесткостью:

(2.9)

, (2.10)

где и у ₀- начальные параметры - угол поворота и прогиб сечения, расположенного в начале координат;

а, b, c, d - координаты приложения соответственно сосредоточенного момента m, силы F и распределенной нагрузки q.

В практических расчетах часто после расчета на прочность производится проверка выполнения условий жесткости.

(2.11)

где [ у ] и [ ]- допускаемый прогиб и угол поворота сечения, которые устанавливаются на основании опыта эксплуатации аналогичных конструкций.