Правила знаков внутренних силовых факторов при построении эпюр сил и моментов

Правила знаков для внутренних усилий, применяемые в маши­ностроении:

1. Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение отсеченной части и отрицательной, если вызывает ее сжатие.

2. Поперечная сила считается положительной, если она вращает отсеченную часть по ходу часовой стрелки и отрицатель­ ной, если вращение происходит против хода часовой стрелки.

3. Изгибающий момент положителен, если сжаты верхние волокна отсеченной части, и отрицателен, если сжаты нижние волокна. Эпюра изгибающих моментов строится на сжатых волокнах.

4. Правило знаков для крутящего момента удобно принимать произвольным.

2.2. Методические указания к выполнению задания

Задание: Для балки, изображенной на рисунке 2.1, а, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из расчета на прочность по нормальным напряжениям подобрать номер двутавра. Проверить прочность выбранного двутавра по главным напряжениям, используя третью теорию прочности. Построить изогнутую ось балки.

Исходные данные: F =60 кН; M =70 кНм; q =40 кН / м; а =1 м; b =3 м; с =2 м; [ σ ]=155 МПа.

Рисунок 2.1 - Схема балки, эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Решение:

1. Определим реакции опор и , составив для этого условия равновесия:

;

;

.

2. Сделаем проверку:

Реакции найдены правильно.

 

3. Построение эпюр.

Для построения эпюр разобьём балку на три участка и составим уравнение для Q и М.

I участок:

При z= 0

При z=a

II участок: .

При z=a

При z=a+b

III участок: .

.

При z ₁ = 0

.

При z ₁ =с

.

На этом участке график поперечной силы пересекает ось эпюры (рис. 2.1, б). Следовательно, в точке, где , изгибающий момент имеет экстремум. Найдём его. Из условия получаем:

Изгибающий момент при z ₁ = 0,85:

.

По этим данным строим эпюру поперечных сил (рис. 2.1, б) и изгибающих моментов (рис. 2.1, в).

4. Подберём сечение балки. Наибольший изгибающий момент (рисунок 2.1, в) равен 84,45 кН ∙ м. Необходимый момент сопротивления:

 

По таблицам сортамента (приложение В) ближайшими к этому значению являются W_х= 518 cм ³(двутавр №30а) и W_х= 597 cм ³ (двутавр №33).

5. Проверим, годится ли двутавр №30а. Напряжения в нём будут равны:

 

То есть перенапряжение составляет:

 

что допустимо.

Рисунок 2.2 Схема сечения двутавра.

 

Таким образом, в соответствии с расчётом по нормальным напряжениям следует принять двутавр №30а. Обратим, однако, внимание на то, что сечении над левой опорой балки действуют одновременно значительный изгибающий момент М =80 кН∙м и большая поперечная (перерезывающая) сила Q =100 кН (рис. 2.1). Поэтому в этом сечении надо сделать проверку по главным напряжениям.

6. Проверим условие прочности по третьей теории прочности. Из таблиц сортамента выпишем для двутавра №30а: I_х= 7780 см ⁴; h= 300 мм; t = 10,7 мм; d= 6,5 мм.

Тогда в точке К сечения (рис. 2.2)

.

Согласно третьей теории прочности должно выполняться условие:

.

В нашем случае:

.

7. Определим перенапряжение в точке К.

Перенапряжение составляет:

 

что недопустимо велико (более 5%).

Таким образом, надо использовать двутавр большего размера. Окончательно принимаем двутавр №33.

 

Таблица 2 - Номера вариантов и исходные данные

Номер варианта	F 1, кН	F 2, кН	М 1, кН ∙ м	М 2, кН∙м	q, кН/м	а, м	[ σ ], МПа
		-				1,5
		-		-		2,0
		-	-			1,8
		-				2,2
		-	-			2,5
		-		-		1,7
	-					1,9
	-		-			2,3
	-			-		2,4
				-		1,6
		-		-		1,5
	-			-		1,5
				-		2,0
				-		1,8
	-					2,2
	-			-		2,5
	-		-			1,7
		-				1,9
		-	-			2,3
		-		-		2,4
		-		-		1,6
	-	-				1,5
		-				2,2
	-	-				2,5
		-		-		1,7
		-	-			1,9
				-		2,3
	-			-		2,4
		-		-		1,6
	-	-		-		1,5
	-			-		1,5
	-			-		1,5
		-				2,2
		-				2,2
		-				2,2
		-				2,2
		-	-			2,5
		-		-		1,7
		-		-		1,6
		-		-		1,6
		-		-		1,6
		-		-		1,6
		-	-			1,8
		-	-			1,8
	-			-		2,4
	-			-		2,4
				-		1,6
				-		1,6
		-		-		1,5
		-		-		1,5
	-			-		1,5
	-			-		1,5
				-		2,0
				-		2,0
				-		1,8
				-		1,8
	-					2,2
	-			-		2,5
	-		-			1,7