Пределы применимости формулы Эйлера.

Потеря устойчивости за пределами

Пропорциональности

 

Формула Эйлера получена из интегрирования дифференциального уравнения упругой оси балки, т.е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Недаром в формуле Эйлера фигурирует модуль Юнга Е.

Следовательно, формулой Эйлера нельзя пользоваться для оценки устойчивости стержней, если критические напряжения, вычисленные по ней, получаются выше предела пропорциональности (где закон Гука не применим).

Итак, формула Эйлера применима при соблюдении условия

или , откуда

.

Здесь правая часть представляет наименьшее (предельное) значение гибкости стержня, при котором можно пользоваться формулой Эйлера, и обозначается

. (8.10)

Условие применимости формулы Эйлера тогда примет вид:

. (8.11)

Для Ст.3 и .

Для Ст.5 и .

Для чугуна .

Для дерева .

При гибкости стержня, меньше предельной, критическое напряжение, определенное по формуле Эйлера, получается значительно выше .

Например, при (Ст.3) , т.е. величина оказывается значительно больше предела прочности.

Ошибочное использование формулы Эйлера для вычисления и проверки устойчивости при малых гибкостях приводило иногда к серьезным катастрофам сооружений. Итак, решение Эйлера применимо на практике лишь для тонких и длинных стержней с большой гибкостью.

Между тем на практике часто встречаются стержни с малой гибкостью.

Опыты показали, что если по Эйлеру , то действительные критические напряжения значительно ниже определенных по Эйлеру.

Важнейшим источником для установления действительных критических напряжений за пределом пропорциональности, т.е. при малых и средних гибкостях, явились результаты эксперимента.

Стержни, для расчета на устойчивость которых нельзя пользоваться формулой Эйлера, можно разбить на две большие группы:

1) Стержни с малой гибкостью

.

Для таких стержней нельзя говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы стержня в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней. Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом от потери прочности, т.е. напряжения сжатия в них достигнут (для пластичных) или (для хрупких) материалов.

Поэтому для коротких толстых стержней за критические напряжения принимают:

или . (8.12)

2) Стержни средней гибкости

.

Для конструкционной Ст.3 . С подобными значениями гибкости инженер чаще всего встречается на практике.

Эти стержни при сжатии теряют свою прямолинейную форму и разрушаются от продольного изгиба. В опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в Эйлеровом смысле. Для таких стержней критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести материалов.

На основании обширного опытного материала, собранного профессором Ф. Ясинским, им была предложена эмпирическая формула для определения критических напряжений подобных стержней:

– формула Ясинского. (8.13)

Рис.8.4

Здесь максимальная гибкость стержня, а и постоянные, зависящие от материала, приводятся в справочниках. Например: Для Ст.3 кН/см^2, кг/см^2 = 0,114 кН/см^2. Для дерева кН/см^2, кг/см^2 = 0,0194кН/см^2.

Из всего вышесказанного можно построить график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала.

Для конструкционной Ст.3 с кН/см² и кН/см² этот график (диаграмма) имеет вид, показанный на рис. 8.4. На этом графике четко выделяется три зоны:

1) ;

2) прямая Ясинского;

3) гипербола Эйлера.

Пунктиром показана гипербола Эйлера за , которой нельзя пользоваться при .