Влияние способов закрепления концов стержня

 

На рис. 8.3 показаны формы потери устойчивости стержней длиной с различными случаями закрепления концов. Случай б) нами рассмотрен при выводе формулы Эйлера. Этот случай называют основным случаем закрепления.

Для других случаев закрепления можно повторить все выкладки, изменяя в каждом случае только граничные условия, и получить соответствующие значения . Однако можно пойти другим путем.

Рис.8.3

 

Сравнивая рис. 8.3 а) и 8.3 б), видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится в тех же условиях, что и верхняя часть стержня длиной с шарнирными концами. Следовательно, для стойки длиной с одним защемленным концом будет та же, что для стойки длиной с шарнирными концами. Поэтому, подставляя вместо в формулу Эйлера, найдем:

– Эйлерова сила для стержня с одним защемленным концом.

На рис. 8.3 г) показана потеря устойчивости стержня с двумя защемленными концами. Видно, что она симметрична относительно середины стержня; точки перегиба изогнутой оси (в которых, как известно, изгибающие моменты равны нулю) расположены на четвертях длины стержня. Следовательно, здесь средняя часть стержня длиной находится в тех же условиях, что и шарнирно закрепленный по концам стержень. Поэтому, подставляя здесь вместо в формулу Эйлера, найдем –Эйлерова сила для стержня с двумя защемленными концами.

Полученные формулы Эйлера при различных закреплениях концов стержня можно записать в общем виде:

. (8.7)

Здесь коэффициент приведения длины;

приведенная длина стержня.

Для основных случаев закрепления стержней, показанных на рис. 8.3, коэффициент имеет следующие значения:

а) один конец защемлен, другой свободный ;

б) с шарнирными концами ;

в) один конец защемлен, другой шарнирный ;

г) с двумя заделанными концами .

Зная критическую силу, можно найти критическое напряжение, поделив силу на площадь. Так как на деформации стержня местные ослабления площади сечения (отверстиями) сказываются мало, то при расчетах на устойчивость принято использовать полную площадь сечения. Следовательно, в формуле Эйлера . Тогда

.

Окончательно . (8.8)

Здесь гибкость стержня. (8.9)

Гибкость стержня – важная характеристика стержней при расчетах их на устойчивость. В (8.9) надо подставлять минимальный радиус инерции сечения, поэтому максимальная гибкость. Стержень теряет устойчивость в той плоскости, в которой его гибкость максимальная.

В неочевидных случаях надо вычислить отдельно: гибкость относительно (вокруг) оси и гибкость относительно оси , т.е. в плоскости . Если , то и расчет на продольный изгиб надо вести в плоскости изгиба , а если , то и расчет вести в плоскости . Это очень важно, т.к. в случае ошибки расчет ведут в одной плоскости, а стержень теряет устойчивость в другой плоскости.

Формула (8.8) – тоже формула Эйлера для критических напряжений.