Устойчивость сжатых стержней в упругой стадии.

Формула Эйлера

 

Задачу определения критической силы (напряжений) впервые решил академик Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что сама постановка задачи здесь иная, чем во всех ранее рассматриваемых: если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы такое искривление возможно.

Рис.8.1

Для вывода формулы Эйлера рассмотрим шарнирно-опертый, центрально-сжатый стержень постоянного сечения, слегка изогнутый в плоскости наименьшей жесткости. Стержень удерживается в искривленном состоянии силой (см. рис. 8.1). Полагая, что материал стержня работает в пределах закона Гука и деформации стержня малы, для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня, полученным ранее:

. (1)

Здесь прогибы балки, . Изгибающий момент в произвольном сечении будет равен

. (2)

Подставляя (2) в (1) и деля обе части на , получим

, где . (8.1)

Общий интеграл полученного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

. (8.2)

Это решение включает три неизвестных: А и В – const интегрирования и значение , т.к. величина критической силы еще неизвестна. Для определения неизвестных используем следующие граничные условия (см. рис.8.1):

Рис.8.2

1. При опора В, поэтому и, следовательно, из уравнения (8.2) следует

, откуда .

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой

. (8.3)

2. При , опора С, поэтому . Из уравнения (8.3) получим

.

Отсюда видно, что или А, или равны нулю.

Если , то из уравнения (8.3) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т.е. он не потерял устойчивость, а это не соответствует условию задачи. Следовательно необходимо принять, что . Последнее условие выполняется, когда принимает значения: , где любое целое число. Отсюда , а т.к. , то и отсюда

. (8.4)

Из формулы (8.4) следует, что потеря устойчивости стержня возможна при целом ряде значений силы . Для практики интересно знать наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой происходит продольный изгиб. При получим , что не соответствует условиям задачи. Следовательно, наименьшее значение принимает при :

формула Эйлера. (8.5)

Для стержня с шарнирными концами значению критической силы по формуле Эйлера соответствует изгиб по синусоиде с одной полуволной [формула (8.3)] и рис.8.2 при :

. (8.6)

Значениям критической силы высших порядков (при ) соответствуют искривления стержня по синусоидам с двумя, тремя и т.д. полуволнами. Исследования показали, что формы равновесия при и т.д. неустойчивы. Они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в т. В и С (рис. 8.2).

Константа А осталась неопределенной. Физический смысл ее выясняется, если в уравнение синусоиды (8.6) положить . Тогда . Следовательно, это прогиб стержня в середине. Так как при нами принято, что равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб А остался неопределенным.