Глава 7. Дифференцирующие и интегрирующие цепи

 

Дифференцирующая цепь

 

Дифференцирующей цепью называется цепь, напряжение на выходе которой пропорционально первой производной по времени от входного напряжения:

 

 

где a – коэффициент пропорциональности.

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.7.1. Схема дифференцирующей цепи

 

Дифференцирующая цепь (рис. 3.7.1) состоит из резистора R и конденсатора С, параметры которых выбираются таким образом, чтобы активное сопротивление было во много раз меньше емкостного сопротивления.

Напряжения на входе и выходе цепи связаны соотношением:

 

u _вх = u _вых + u _C;

 

u _вых = i · R

 

u _C = u _вх – u _вых = u _вх – iR;

 

Если величина i R значительно меньше, чем u _вх, то u _вх ≈ u _C.

 

 

Величина τ = RC называется постоянной времени дифференцирующей цепи.

Чем меньше постоянная времени по сравнению с длительностью импульса на входе, тем выше точность дифференцирования.

Если ко входу дифференцирующей цепи подвести напряжение синусоидальной формы, то выходное напряжение будет тоже синусоидальным, однако, оно будет сдвинуто по фазе относительно входного напряжения, и его амплитуда будет меньше, чем у входного. Таким образом, дифференцирующая цепь, являющаяся линейной системой, не меняет спектрального состава подводимого к ней напряжения.

Подача на вход дифференцирующей цепи прямоугольного импульса, состоящего, как известно, из бесчисленного множества синусоидальных составляющих, изменяет амплитуду и фазу этих составляющих, что приводит к изменению формы выходного напряжения по сравнению с формой входного.

При подаче прямоугольного импульса на вход дифференцирующей цепи начинается заряд конденсатора С через сопротивление R.

В начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю, поэтому выходное напряжение равно входному. По мере заряда конденсатора напряжение на нем начинает увеличиваться по экспоненциальному закону:

 

u _c = u _вх · (1 – e ^{– t/τ});

 

где τ = RC – постоянная времени цепи.

 

Напряжение на выходе дифференцирующей цепи:

 

u _вых = u _вх – u _c = u _вх – u _вх · (1 – e ^{– t/τ}) = u _вх · e ^{– t/τ});

 

Таким образом, по мере заряда конденсатора напряжение на выходе схемы убывает по экспоненциальному закону. Когда конденсатор полностью зарядится, напряжение на выходе дифференцирующей цепи станет равным нулю.

В момент окончания прямоугольного импульса напряжение на входе схемы скачком уменьшится до нуля. Поскольку конденсатор в это время остается полностью заряженным, то с этого момента начнется его разряд через сопротивление R. В начале разряда конденсатора напряжение на выходе схемы по величине приблизительно равно напряжению на конденсаторе, но с противоположным знаком, т. к. направление тока разряда противоположно току заряда. По мере разряда конденсатора напряжение на выходе цепи уменьшается по экспоненциальному закону.

Форма импульсов на входе и выходе дифференцирующей цепи приведена на рис. 3.7.2.

 

 

 

 

Рис. 3.7.2. Форма импульсов на входе и выходе

дифференцирующей цепи

 

Форма напряжения на выходе дифференцирующей цепи определяется ее постоянной времени τ = RC.

Если постоянная времени цепи τ мала по сравнению с длительностью входного импульса δ_вх, то на выходе дифференцирующей цепи получаются два остроконечных импульса противоположной полярности (рис. 3.7.2, а). Длительность каждого из этих импульсов на уровне 0,1 от максимального значения определяется следующим соотношением:

	δ ≈ 3τ;

 

При увеличении постоянной времени цепи форма выходного напряжения все меньше отличается от входного (рис. 3.7.2, b).

Интегрирующая цепь

 

Интегрирующей цепью называется цепь, у которой выходное напряжение пропорционально интегралу от входного напряжения:

 

где b – коэффициент пропорциональности.

 

 

 

 

Рис. 3.7.3. Схема интегрирующей цепи

 

Напряжение на выходе интегрирующей цепи связано с напряжением на входе следующим соотношением:

 

u _вх = u_R + u _вых; где u_R = i · R;

 

 

 

Увеличивая сопротивление R, можно добиться, чтобы напряжение u_R было значительно большим, чем напряжение u _вых. В этом случае u _вх ≈ i · R.

Тогда

 

Если на вход интегрирующей цепи подать синусоидальное напряжение, то на ее выходе будет также синусоидальное напряжение с измененными амплитудой и фазой.

При подаче на вход интегрирующей цепи импульса прямоугольной формы в первый момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю. По мере заряда конденсатора напряжение на нем увеличивается по экспоненциальному закону:

u _С = u _вых = u _вх (1 – e ^{– t/τ}),

где τ = RC – постоянная времени интегрирующей цепи.

В момент окончания входного импульса напряжение на входе скачком уменьшается до нуля, и конденсатор С начнет разряжаться по экспоненциальному закону:

u _C = u _вых = u _{C max} · e ^{– t/τ};

Форма импульсов на входе и выходе интегрирующей цепи приведена на рис. 3.7.4.

Если постоянная времени цепи “ τ “ будет больше длительности входного импульса “ δ_вх”, то форма выходного импульса будет близка к треугольной (рис. 3.7.4, а). При малой постоянной времени форма выходного напряжения близка к форме входного напряжения (рис. 3.7.4, b):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.7.4. Форма импульсов на входе и выходе интегрирующей цепи

 

 

Раздел 4.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ