Методика оценки статистических характеристик

В результате эксперимента, обычно, получают совокупность результатов, называемых в статистике вариантами: x₁, x₂, x₃,…,x_n. Если варианты расположить упорядоченно (в порядке возрастания или убывания), то получается последовательность, называемая дискретным вариационным рядом x₁, x₂, x₃,…,x_n. Каждой варианте такого ряда ставится в соответствие ее частота или число ее появлений n_i, и относительная частота , равная отношению частоты n_i к общему числу вариант:

(1)

При большом числе испытаний относительную частоту считают приближенно равной статистической вероятности

.

Если вариант много, то их группируют в интервалы и для каждого интервала вычисляют частоту попадания в него.

Такой ряд называют интервальным вариационным рядом. В общем случае, ширина этих интервалов может быть различной, но часто интервалы удобно брать одинаковыми, равными по ширине :

,

где L - число интервалов, определяемое по формуле:

L=1+3,32lg n.

Статистическое распределение считается полностью заданным, если указаны последовательность вариант (или интервалов) и соответствующих им относительных частот.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x_{i ,} ). По оси абсцисс откладывают значения вариант x_i, а по оси ординат – соответствующие им относительные частоты (см. рис. 1).

Например, дан дискретный вариационный ряд из 20 вариант, представленный в виде табл. 1, где n_i – частота появления вариант, - относительная частота этой варианты, которая находится по формуле (1)

Таблица 1

Пример дискретного вариационного ряда

xi	1,5	3,5	5,5	7,5	9,5
ni	4	10	3	2	1
	0,2	0,5	0,15	0,1	0,05

 

Строим соответствующий полигон частот.

0.5

0.3

 

0.2

0.1

 

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_i

Рисунок 1.Полигон частот

 

Полигон используется при графическом представлении дискретных вариационных рядов, когда число вариант невелико (n≤30).

Для графического представления интервального вариационного ряда служит гистограмма - ступенчатая фигура, которая состоит из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы длиной , а высоты равны отношению (см. рис. 2). Площадь i -го частичного прямоугольника численно равна относительной частоте попадания в интервал :

(3)

 

Рисунок 2.Гистограмма

 

Площадь всей гистограммы численно равна суме всех частот ряда, т.е. должна быть равна единице (исходя из условия нормировки):

где к =1,2,3,…, L.

Интервальный вариационный ряд можно преобразовать в дискретный.

Для этого надо вычислить в каждом интервале среднее значение и :

; , (4)

где - значения вариант, попавших в i -ый интервал, - количество вариант, попавших в i -ый интервал.

Полигон и гистограмма являются приближенными оценками плотности распределения вероятностей.

Среднее арифметическое значений вариант характеризует приближенно математическое ожидание случайной величины, т.е. является его оценкой:

(5)

Оценка дисперсии. Исправленная дисперсия характеризует рассеивание случайной величины и находится по формуле:

(6)

 

или для n >30 (7)

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины. Чтобы характеризовать рассеивание в тех же единицах, что и измеряемая величина, вычисляют среднее квадратичное отклонение:

(8)

 

Все эти величины необходимо вычислить, т.е. определить характеристики экспериментального распределения заданных х _i, а также определить, отличается ли полученная эмпирически оценка плотности распределения от нормального закона.

Порядок расчета этих характеристик поясним на примере. По известным данным измерения роста 1000 взрослых мужчин оценим характеристики распределения и сравним его с нормальным.

В первой строке таблицы приводятся интервалы роста в сантиметрах, во второй – число мужчин, имеющих рост в пределах этого интервала.

 

Рост x (см)	143-152	152-161	161-170	170-179	179-188
Число ni мужчин

Таблица 2

Распределение роста мужчин

 

Находим относительную частоту в каждом интервале и записываем полученный интервальный вариационный ряд.

 

Таблица 3