Методика проектування рекурсивних ЦФ на основі білінійного z – перетворення аналогового фільтра-прототипу 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Методика проектування рекурсивних ЦФ на основі білінійного z – перетворення аналогового фільтра-прототипу



Проектування ЦФ за аналоговим прототипом включає в себе такі етапи:

- вибір виду апроксимації і розрахунок параметрів функції, що апроксимується;

- розрахунок порядку аналогового фільтра-прототипу;

- розрахунок передавальної функції аналогового фільтра-прото­типу;

- розрахунок передавальної функції ЦФ.

На рис. 3.12 зображені види апроксимуючих функцій ана­
лого­вих фільтрів-прототипів. Апроксимація за Баттервортом дає макси­мально гладку АЧХ як в смузі пропускання так і в

Рис. 3.12. Апроксимуючі функції аналогових фільтрів-прототипів:
а – ФНЧ Баттерворта; б –ФНЧ Чебишева; в –ФНЧ Кауера; – нерівномірність АЧХ в смузі пропускання; – нерівномірність АЧХ в смузі затримання (, – задаються звичайно в децибелах).

смузі затримання Апроксимація за Чебишевим дає АЧХ з рівновеликими пульсаціями в смузі пропускання і гладку АЧХ – в смузі затримання. Перехідна смуга при цьому більш вузька, ніж при апроксимації за Баттервортом. Апроксимація за Кауером дає АЧХ з пульсаціями як в смузі пропускання, так і в смузі затримання, а ширина перехідної смуги виходить найменшою. Амплітудно-частотна характеристика задається на інтервалі зміни цифрових частот ( – частота дискретизації) або , тому що вона симетрична відносно частоти або . Апроксимація частотної характеристики фільтра грунтується на представленні квадрата модуля його АЧХ:

де – загасання АЧХ на межі смуги пропускання ; – апроксимуюча функція порядку N; – гранична частота пропускання (частота зрізу), на якій квадрат модуля АЧХ зменшується до 1/(1+ ).

Як правило, спочатку розглядається нормована АЧХ НЧ з , а потім здійснюється її частотне перетворення. В цьому випадку

При ( – гранична частота смуги затримання) приду­шення дорівнює А2. Параметри апроксимуючої функції розрахову­ються на основі вимог до АЧХ ЦФ, які задаються за допомогою величин fp, fs, і .

Представимо методику синтезу ЦФ за аналоговим прототипом, яким є фільтр Баттерворта.

В загальному випадку передавальна функція ФНЧ Баттерворта N – порядку

Н(р) = 1 / BN(p), (3.6)

де ВN(Р) – поліноми ступеня N з коренями в точках:

.

Вираз функції BN(p) для :

N=1 BN(p) = p + l;

N=2 BN(p) = p2 + l,41p + l;

N=3 BN(p) = (p + i) (p2 + P + i);

N=4 BN(p) = (p2 + 0,7654p + l) (p2 + l,8478p +l);

N=5 BN(p) = (p + l) (p2 + 0,6180p + l) (p2 + l,6180p + l).

На практиці порядок фільтра Баттерворта розраховують відповідно до умови забезпечення певного рівня АЧХ 1/А на деякій заданій (як правило ) частоті згідно із співвідношенням

N = lgД/21g = lgД/21g (fp/fs), (3.7)

де .

Чим вище порядок фільтра (ступінь полінома), тим крутіші скати АЧХ від частоти зрізу fp до частоти заданого гарантованого придушення fs. Використовуючи рівність (3.6), представимо вираз для передавальних функцій нормованих (з частотою зрізу ) фільтрів Баттерворта (обмежимося значенням N від 1 до 3):

Н(р)1 = 1/(1 + р); Н(р)2 = l/(l + p + p2);

Н(р)3 = 1/(1 + 2р + 2p2 + р3). (3.8)

Для перетворення нормованого фільтра НЧ на інший фільтр, найчастіше застосовують перетворення:

– ФВЧ на ФНЧ, – ФНЧ на ФВЧ.

Тоді для передавальних функцій ФНЧ першого-третього по­рядків з довільною частотою запишемо вирази:

H(p)1 = l/(l + p/ ); H(p)2 = l/[l + (p/ ) + (р/ )2];

Н(р)3 = 1/[l +2 (p/ ) + 2(p/ )2 + (p/ )3]. (3.9)

Якщо частота зрізу синтезованого ЦФ дорівнює , то перерахована частота аналогового фільтра-прототипу в співвідношені з білінійним Z-перетворенням буде

де – частота дискретизації. Оскільки при Z–перетворенні відбувається заміна , то виникає

, (3.10)

де

Підставляючи рівність (3.10) в (3.9), після нескладних пере­творень отримаємо вирази передавальних функцій ЦФ, подібних до аналогових ФНЧ Баттерворта першого-третього порядків:

де

де

(3.11)

де

Квадрат АЧХ аналогового ФНЧ Баттерворта

Квадрат АЧХ ЦФ

(3.12)

де H*(Z) – комплексно-спряжена передавальна функція; Rе і Im –дійсна та уявна частини АЧХ фільтра.

Вираз (3.12) після заміни , наприклад, для ЦФ третього порядку рівняння (3.11) отримує вигляд

,

де d0 = 20 (l + c3); d1 = 30 (l – c6); d2 = 12 (l + c6); d3 = 2 (l – c6).

Практична реалізація ланок високого порядку, як правило, за­безпечується за допомогою каскадного (послідовного) і (або) пара­лельного з'єднання ланок першого, другого і третього порядків.

Як приклад розглянемо задачу визначення передавальної функції цифрового ФНЧ з монотонно спадною АЧХ (аналоговий прототип – фільтр Баттерворта).

Задаються такі параметри фільтра: частота зрізу fp = 4 кГц, гра­нична частота смуги затримання fs = 8 кГц, нерівномірність АЧХ у смузі пропускання = =1,6 дБ, гарантоване затухання в смузі затримання 3 = 12 дБ, частота дискретизації fд = 12 кГц.

Порядок фільтра визначається відповідно до відношення (3.7):

і округляється до двох.

Передавальна функція нормованого аналогового фільтра Баттерворта НЧ другого порядку (3.8) має вигляд

Н(р)2 = 1/(1 + р + р2)

Після заміни H(p)2 = l/[l + (p/ ) + (р/ )2].

Застосуємо білінійне Z-перетворення:

, ,

де

Коефіцієнти у виразі H(Z)2 будуть:

де

Функціональна схема розрахованого рекурсивного цифрового ФНЧ другого порядку зображена на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Функціональна схема цифрового ФНЧ другого порядку

 

Амплітудно-частотну характеристику фільтра знаходять згідно з виразом (3.12).

 

Цифрові системи АРП.

Розглянуті нижче цифрові системи можуть бути використані при проектуванні ППОС систем електрозв¢язку та радіонавігаціі.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-13; просмотров: 294; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.204.117.57 (0.023 с.)