Методика проектування рекурсивних ЦФ на основі білінійного z – перетворення аналогового фільтра-прототипу

Проектування ЦФ за аналоговим прототипом включає в себе такі етапи:

- вибір виду апроксимації і розрахунок параметрів функції, що апроксимується;

- розрахунок порядку аналогового фільтра-прототипу;

- розрахунок передавальної функції аналогового фільтра-прото­типу;

- розрахунок передавальної функції ЦФ.

На рис. 3.12 зображені види апроксимуючих функцій ана­
лого­вих фільтрів-прототипів. Апроксимація за Баттервортом дає макси­мально гладку АЧХ як в смузі пропускання так і в

Рис. 3.12. Апроксимуючі функції аналогових фільтрів-прототипів:
а – ФНЧ Баттерворта; б –ФНЧ Чебишева; в –ФНЧ Кауера; – нерівномірність АЧХ в смузі пропускання; – нерівномірність АЧХ в смузі затримання (, – задаються звичайно в децибелах).

смузі затримання Апроксимація за Чебишевим дає АЧХ з рівновеликими пульсаціями в смузі пропускання і гладку АЧХ – в смузі затримання. Перехідна смуга при цьому більш вузька, ніж при апроксимації за Баттервортом. Апроксимація за Кауером дає АЧХ з пульсаціями як в смузі пропускання, так і в смузі затримання, а ширина перехідної смуги виходить найменшою. Амплітудно-частотна характеристика задається на інтервалі зміни цифрових частот ( – частота дискретизації) або , тому що вона симетрична відносно частоти або . Апроксимація частотної характеристики фільтра грунтується на представленні квадрата модуля його АЧХ:

де – загасання АЧХ на межі смуги пропускання ; – апроксимуюча функція порядку N; – гранична частота пропускання (частота зрізу), на якій квадрат модуля АЧХ зменшується до 1/(1+ ).

Як правило, спочатку розглядається нормована АЧХ НЧ з , а потім здійснюється її частотне перетворення. В цьому випадку

При ( – гранична частота смуги затримання) приду­шення дорівнює А². Параметри апроксимуючої функції розрахову­ються на основі вимог до АЧХ ЦФ, які задаються за допомогою величин f_p, f_s, і .

Представимо методику синтезу ЦФ за аналоговим прототипом, яким є фільтр Баттерворта.

В загальному випадку передавальна функція ФНЧ Баттерворта N – порядку

Н(р) = 1 / B_N(p), (3.6)

де В_N(Р) – поліноми ступеня N з коренями в точках:

.

Вираз функції B_N(p) для :

N=1 B_N(p) = p + l;

N=2 B_N(p) = p² + l,41p + l;

N=3 B_N(p) = (p + i) (p² + P + i);

N=4 B_N(p) = (p² + 0,7654p + l) (p² + l,8478p +l);

N=5 B_N(p) = (p + l) (p² + 0,6180p + l) (p² + l,6180p + l).

На практиці порядок фільтра Баттерворта розраховують відповідно до умови забезпечення певного рівня АЧХ 1/А на деякій заданій (як правило ) частоті згідно із співвідношенням

N = lgД/21g = lgД/21g (fp/fs), (3.7)

де .

Чим вище порядок фільтра (ступінь полінома), тим крутіші скати АЧХ від частоти зрізу f_p до частоти заданого гарантованого придушення f_s. Використовуючи рівність (3.6), представимо вираз для передавальних функцій нормованих (з частотою зрізу ) фільтрів Баттерворта (обмежимося значенням N від 1 до 3):

Н(р)1 = 1/(1 + р); Н(р)2 = l/(l + p + p2);

Н(р)3 = 1/(1 + 2р + 2p2 + р3). (3.8)

Для перетворення нормованого фільтра НЧ на інший фільтр, найчастіше застосовують перетворення:

– ФВЧ на ФНЧ, – ФНЧ на ФВЧ.

Тоді для передавальних функцій ФНЧ першого-третього по­рядків з довільною частотою запишемо вирази:

H(p)₁ = l/(l + p/ ); H(p)₂ = l/[l + (p/ ) + (р/ )²];

Н(р)₃ = 1/[l +2 (p/ ) + 2(p/ )² + (p/ )³]. (3.9)

Якщо частота зрізу синтезованого ЦФ дорівнює , то перерахована частота аналогового фільтра-прототипу в співвідношені з білінійним Z-перетворенням буде

де – частота дискретизації. Оскільки при Z–перетворенні відбувається заміна , то виникає

, (3.10)

де

Підставляючи рівність (3.10) в (3.9), після нескладних пере­творень отримаємо вирази передавальних функцій ЦФ, подібних до аналогових ФНЧ Баттерворта першого-третього порядків:

де

де

(3.11)

де

Квадрат АЧХ аналогового ФНЧ Баттерворта

Квадрат АЧХ ЦФ

(3.12)

де H*(Z) – комплексно-спряжена передавальна функція; R_е і I_m –дійсна та уявна частини АЧХ фільтра.

Вираз (3.12) після заміни , наприклад, для ЦФ третього порядку рівняння (3.11) отримує вигляд

,

де d₀ = 20 (l + c³); d₁ = 30 (l – c⁶); d₂ = 12 (l + c⁶); d₃ = 2 (l – c⁶).

Практична реалізація ланок високого порядку, як правило, за­безпечується за допомогою каскадного (послідовного) і (або) пара­лельного з'єднання ланок першого, другого і третього порядків.

Як приклад розглянемо задачу визначення передавальної функції цифрового ФНЧ з монотонно спадною АЧХ (аналоговий прототип – фільтр Баттерворта).

Задаються такі параметри фільтра: частота зрізу f_p = 4 кГц, гра­нична частота смуги затримання f_s = 8 кГц, нерівномірність АЧХ у смузі пропускання = =1,6 дБ, гарантоване затухання в смузі затримання =А₃ = 12 дБ, частота дискретизації f_д = 12 кГц.

Порядок фільтра визначається відповідно до відношення (3.7):

і округляється до двох.

Передавальна функція нормованого аналогового фільтра Баттерворта НЧ другого порядку (3.8) має вигляд

Н(р)₂ = 1/(1 + р + р²)

Після заміни H(p)₂ = l/[l + (p/ ) + (р/ )²].

Застосуємо білінійне Z-перетворення:

, ,

де

Коефіцієнти у виразі H(Z)₂ будуть:

де

Функціональна схема розрахованого рекурсивного цифрового ФНЧ другого порядку зображена на рис. 3.13.

Рис. 3.13. Функціональна схема цифрового ФНЧ другого порядку

 

Амплітудно-частотну характеристику фільтра знаходять згідно з виразом (3.12).

 

Цифрові системи АРП.

Розглянуті нижче цифрові системи можуть бути використані при проектуванні ППОС систем електрозв¢язку та радіонавігаціі.