Глава 6. Дедуктивное обобщение и принцип абстракции

Единичные случаи представляют собою

единственное основание вывода, какое

только может быть, так как их значение

не может усилить никакая логическая форма

(Джон Ст. Милль, “Система логики)”

Иллюстрация на частном случае

демонстрирует некоторый тип рассмотрения,

применимый ко всем случаям.

(Клини С.К., “Математическая логика”)

Вопрос, обсуждаемый ниже, Эверт Бет называет частным, но важным вопросом, которым, по его словам, “до сих пор никто не занимался и не дал удовлетворительной трактовки”^[225].

Что касается удовлетворительной трактовки, то Бет, вероятно, прав, хотя трудно найти философски значимую проблему, которая получила бы общепринятое толкование. Но, говоря, что этим вопросом до сих пор никто не занимался, Бет, конечно, неправ. Он сам указывает на некоторые исторические корни этого вопроса. Правда, ограничиваясь темой общих понятий, Бет ведёт его родословную и общую формулировку от Локка и Беркли. Но действительная история всё же восходит к античности, хотя и тогда он обсуждался преимущественно в контексте классической философской темы универсалий. Первая дошедшая до нас попытка его решения принадлежит Аристотелю.

А суть дела в философском контексте сводится к объяснению вопроса, каким образом “частное” может оказаться эквивалентом “общего”. В логическом же контексте она сводится к обоснованию общезначимости утверждений (в частности, математических теорем), доказанных первоначально на единичных (конкретных) примерах, для какого-либо частного случая, подтверждающего общее утверждение. Практика таких доказательств переросла со временем в методологический приём: распространять (переносить) на все объекты определенного класса утверждения (высказывания, теоремы), правильность которых установлена (доказана) для произвольно взятого единичного объекта данного класса, даже если при этом и остаётся невыясненным вопрос о логической законности (обоснованности) такого обобщающего перехода. Именно в связи с последним вопросом Рассел заметил, что такого рода вопросы “очень трудны и исторически очень важны”^[226].

На первый взгляд, схема получения общих утверждений совпадает в этом случае с неполной индукцией, так что вопрос её обоснования сводится к вопросу обоснования индуктивных умозаключений вообще. Но такую позицию принять затруднительно, когда речь идёт о дедуктивных теориях. Основной принцип любой дедуктивной теории – dictum de omni. Обратное этому принципу не имеет собственно логического оправдания.

Тем не менее, и в дедуктивных теориях говорят об “общем приёме решения”, о решении задачи в “общем виде”, о доказательстве или рассуждении, проведённом в “общей форме”, когда эта общность индуцирована рассмотрением такого частного случая, который вселяет уверенность в корректность обобщения.

Иначе говоря, в рассуждениях на доказательство нередко и как будто бы сознательно выбирают дедуктивно неоправданный путь от частного к общему, полагаясь, по-видимому, на “нашу способность убеждаться в истинности общих высказываний на основании ограниченного опыта”^[227]. И такая практика восходит к античности.

6.1. Аподейктика в античности. К примеру, в “Началах” Евклида доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника начинается словами: “Пусть треугольник будет АВС...” и заканчивается словами: “Значит, во всяком треугольнике...”^[228]. Очевидно, что здесь обобщающий переход не в одной только форме выражения. И аналогично Евклид доказывает некоторые другие теоремы, не заботясь о том, что в таком способе доказательства имеется шаг, требующий логического восполнения.

Известно, что та форма изложения геометрии, которую ей придал Евклид, на протяжении столетий служила моделью дедуктивной теории и считалась “абстрактно-логической”. Она казалась не только образцом дедуктивной теории, но и образцом логического метода доказательства вообще. Вот яркий пассаж такого отношения к автору “Начал” и его теории: “великий адвокат геометрической истины каждый раз предусматривает все мельчайшие возражения “противной стороны”, для которой опущение хотя бы самого очевидного силлогизма, хотя бы одной логической формальности (курсив мой – М.Н.) даст повод к кассации всего доказательства”^[229].

В этом пассаже выражен скорее пиетет к традиции, чем признание факта ex professo, ведь с точки зрения современных требований к логической строгости доказательств теория античных геометров далека от дедуктивного идеала. Однако кассации евклидовского доказательства теоремы о сумме внутренних углов треугольника вряд ли потребует и современный геометр. Как заметил Бет, “современный геометр в любом случае вначале сосредоточится на созерцании частной фигуры и только после этого сделает необходимое обобщение полученного результата”^[230]. Так что и современный геометр всё ещё следует “доказывающей манере” древних – подчинять доказательства не только формально-логическому порядку, но и наглядной очевидности ^[231].

Говорят, что “Элементы” писались Евклидом в эпоху “организации научного метода”, когда дедуктивный взгляд на науку только формировался под влиянием философии Платона и Аристотеля. Но Евклид мог и не задаваться вопросом, насколько его способы доказательства отвечают методологическим установкам той или иной философской школы, поскольку античной наукой равным образом допускались и аксиоматический и конструктивный (генетический) способы организации теории. Та часть доказательства, которая называлась “изложением” (ekthesis), традиционно предполагала законную роль наглядной геометрии – обращение к примеру (exemplum), к чертежу, к пространственной интуиции (которые служили своего рода базисом индукции), чтобы затем, убедившись в справедливости частного случая (в справедливости рассуждения in concreto) посредством абстракции вернуться к общему положению, сформулированному в теореме.

Законность обобщения казалась при этом очевидной, поскольку доказательство, хотя оно и велось с опорой на созерцание вполне определённой частной фигуры, само не основывалось на “материальном” эксперименте – оно не являлось опытным или эмпирическим доказательством в собственном смысле, как в случаях измерения, складывания углов, перегибания листа (доказательство на бумажном треугольнике) или использовании транспортира. Теорема относилась к идеальным объектам теории и устанавливалась, по выражению Прокла, невещественным и разумным путём.

Ссылка на идеальные объекты теории, на её экзистенциальный характер в определённом смысле устраняла эмпирический элемент из состава доказательства и – в этом смысле – его философскую индуктивную суть ^[232]. Но она не устраняла логическую суть вопроса о том, в каких случаях в дедуктивной теории для доказательства её теорем можно пользоваться примером или применять методы заключения от частного к общему, и можно ли при этом считать, что такие методы не нарушают дедуктивный характер теории.

Отвечая сегодня на этот вопрос, стоит, конечно, напомнить его историю. Поэтому я предлагаю здесь (заведомо неполный) поимённый исторический экскурс, следуя отчасти порядку обсуждения, что принят у Бета.Но сначала я коротко остановлюсь на содержании понятия, о котором выше уже шла речь и которое в дальнейшем будет основным предметом нашей темы – на понятии обобщения.

6.2. О понятии “обобщение”. Без претензии на строгость (на определение) скажем, что обобщение – это форма (метод) приращения и организации знания путём перехода на более высокую ступень абстракции. Точнее и конкретнее, обобщение – это ограничение исходного разнообразия данных путём построения некоторого его гомоморфного образа, являющегося самодовлеющим и полноценным абстрактным знанием “внутри себя”.

Обобщение считается важнейшим средством познания, позволяющим извлекать законы из заслоняющей их пестроты явлений, кодифицировать и отождествлять в “единой формуле” множество различных вещей и событий, “сводить под одну крышу совершенно разные объекты”^[233]. В науке этот обобщающий и одновременно упрощающий взгляд закрепляется в форме новых понятий и суждений. И хотя самый акт обобщения основан на ограничении, его реальным результатом является обычно изменение семантического поля вновь введённых понятий и расширение сферы их применения. Так, переход от арифметики к алгебре является, конечно, обобщением. Он предполагает существенное изменение языка теории и применяемых методов доказательства. И если в арифметике ограничиваются пониманием сложения как конкретной операции над конкретными числами, то в алгебре область действия сложения заведомо не оговаривается и ограничивается только условием равенства этих областей с точностью до изоморфизма. Таким образом, операция сложения понимается в алгебре уже как абстрактная операция (как класс в известном смысле тождественных операций), подчинённая определённой группе законов, которые, если оставаться на точке зрения конкретной арифметики, нельзя ни формализовать (сформулировать в общей форме), ни доказать как теоремы. Дальнейшим следствием такого обобщения является переход к более абстрактным понятиям алгебры, таким как группы, кольца, модули и пр.

За исключением тавтологий (чисто логических истин) не существует утверждений, истинных в любой предметной области. Но истинность многих утверждений сохраняется, если они высказываются об объектах в определённом смысле равных. Следовательно, одна из задач обобщения – разыскание таких общих утверждений и таких отношений равенства. Настаивание на обязательном различии, на индивидуации во что бы то ни стало, лишило бы науку возможности обобщений – “сознательное ограничение... некоторыми гомоморфными образами целого становится оправданным и в действительности почти неизбежным”^[234].

Таким образом, обобщение – это в некотором смысле избирательное отображение. И не случайно, что исторически в науковедении с понятием обобщения связывали тип и структуру знаний, а в гносеологии – процессы, пути и методы познавательной деятельности.

Представление об обобщении как методе сложилось, по-видимому, не раньше, чем была осознана разница между индукцией и дедукцией. Если сопоставить словарное содержание двух терминов – “индукция” и “обобщение”, то мы не обнаружим существенной разницы между ними, словно речь идёт о понятиях-синонимах. И такой взгляд на обобщение в философии – почти укоренившейся предрассудок, ведь исследование обобщающих выводов, когда “в результате ряда усмотрений опыта устанавливается один общий взгляд относительно сходных предметов”^[235], со времён античности признавалось делом индуктивной логики. Мысль о том, что существуют обобщающие процедуры, отличные от индуктивных, что индукция – это только один из видов обобщения в классификационной схеме обобщающих умозаключений, до сих пор не получила гражданства в словаре философских понятий.

Между тем, дедуктивные процедуры обобщения известны давно, хотя применяются они в основном в математике. Здесь базой для обобщения служат, конечно, не эмпирические объекты, а понятия. При этом обобщающая абстракция состоит в том, что в некотором данном понятийном разнообразии ищется его устойчивая часть. некий инвариант. Например, в системе линейных уравнений – общий метод их решения. Собственно устойчивой частью системы линейных уравнений является отношение между этой системой и любой выводимой из неё системой. Это отношение является по существу отношением логического следования, что и обобщается в соответствующей теореме. Ясно, что здесь нет никакого перехода от частного к общему, а есть только фиксация логической закономерности. Другим очевидным примером дедуктивного обобщения могут служить бесконечная индукция и математическая индукция, универсальное обобщение
("- обобщение) в чистом исчислении предикатов, известное из школьной логики обобщение понятия (от более сильного понятия к более слабому), процедура обобщения, которой посвящена эта тема – обобщение “по правилу Локка” (хотя я и не вижу оснований для такого названия этого правила^[236]) и, наконец, “обобщение теории”, которое ближе к точному металогическому понятию “расширение формальной системы”, чем к традиционному понятию индукции.

Разумеется, указанной выше классификацией не исчерпывается типологическая характеристика обобщений. В частности, если обратить внимание на семантическую новизну обобщения, исключающую его адекватную смысловую редукцию к понятиям исходного семантического поля, то обобщения дихотомически можно разделить на те, что порождают новые семантические единицы, и те, что их не порождают. Последние по существу дают лишь новые “варианты” старых значений. По сравнению с первыми они имеют более простую синтаксическую структуру и часто являются их предельным случаем. Все индуктивные и все дедуктивные обобщения принадлежат к одному из таких типов, причём в смысле данной классификации некоторые дедуктивные обобщения оказываются более информативными, чем индуктивные.

Исторически процесс развития понятий и теорий выражается в приращении знания посредством цепей обобщений, звеньями которых служат обобщения первого или второго типов. В цепях обобщений отражаются связи сущностей (абстракций) разных порядков. В зависимости от характера этих связей им соответствуют цепи обобщений или сохраняющие семантику исходных понятий, или, напротив, изменяющие первичную семантику. Примером первой цепи может служить последовательное обобщение понятия числа, основанное на метрическом представлении о числах (как знаках для “единичных вещей”, полученных в процессе счёта или измерения). Эта цепь сохраняет семантику исходной концептуальной базы, хотя здесь приходится обобщать не только понятие о числе, но и понятие о числовых операциях в соответствии с принципом постоянства формальных законов. Цепь такого вида я назвал индуктивной, поскольку она не может быть сколь угодно продолжаемой ^[237]. Уже арифметика трансфинитных количественных чисел не удовлетворяет принципу постоянства формальных законов, а канторовский теоретико-множественный подход к общему понятию числа (как универсалии, полученной “единым актом абстракции”) служит хорошей основой для цепи обобщения второго типа, которая приводит к существенно новому пониманию арифметики натуральных чисел как арифметике мощностей конечных множеств, где каждая теорема о “конечных числах” рассматривается как теорема о конечных множествах.

В качестве другого примера цепи обобщения с изменяющейся семантикой исходных понятий можно назвать переход от классической логики к интуиционистской, изменяющий семантику логических связок, или переход от классической механики к релятивистской и к общей теории относительности. При этом общая теория получает законченную формулировку независимо от менее общей. Объективная значимость индуктивной цепи определяется в этом случае принципом соответствия для цепей обобщения с изменяющейся первичной семантикой, которые я назвал дедуктивными (или сходящимися “в себе”) цепями: любая дедуктивная цепь обобщения должна содержать в себе соответствующую индуктивную цепь в качестве предельного случая ^[238].

Индуктивная цепь обобщений – это в известном смысле естественная цепь, воспроизводящая филогенез мысли, своего рода “биографию” понятия в исторической картине его развития. В дедуктивной цепи обобщений, напротив, нет истории, а есть только одна логическая связь понятий, имеющих нередко совсем иной смысл, чем соответствующие понятия родственной ей индуктивной цепи.

Надеюсь, что этим кратким экскурсом в “природу” обобщения я не слишком уклонился от основной темы этой главы. К тому же автор вправе указать на терминологию, существенную для обсуждаемой им темы, которую, ему не случалось встречать в чужих статьях или книгах (хотя дедуктивные обобщающие процедуры известны давно) и которая и идейно и методологически принадлежит интервальному подходу. Теперь же пора возвратиться к обещанной истории вопроса.

6.3. Платон. Эмпиризм и платонизм – вот два беспримесных типа философской методологии науки, которые завещал нам античный гений. Эмпирики верят в наблюдение и опыт, платоники – в рассуждение и логику. Платоники видят в отдельных единичных вещах (в особенном) лишь тени абстракций. Эмпирики, напротив, в абстракциях видят лишь тени отдельных единичных вещей. Перефразируя выражение Рассела, можно сказать, что преодоление изнуряющей неопределённости этой альтернативы превращает философию в более высокое занятие, чем наука или религия ^[239].

Возможно, Платону одному из первых принадлежит осознание несовершенства индуктивных доказательств и сократовского метода познания путём анализа наводящих примеров. Правда, понятия чисто дедуктивного доказательства, основанного на законах и правилах логики, Платон не имел. Но его основная концепция “познания в понятиях”, применённая к математике, уже формировала определённую философию математики (не случайно в наше время названную платонизмом), резко противопоставленную эмпиризму и даже более поздним вариантам концептуализма.

Согласно Платону, учение о доказательстве, то есть о том, как наши суждения должны связываться между собой и как они вытекают “сами собой одно из другого”^[240] – это труднейшая часть философии. Платон называет эту часть диалектикой. Её область – мышление в двух формах его пути к познанию истины (всеобщего): научной – от гипотез к понятиям (к относительному знанию о всеобщем) и философской – в движении мысли в сфере чистых понятий (к абсолютному знанию о всеобщем).

Хотя в науке речь не об эмпирическом (частном) как таковом, поскольку предмет науки – данное в общих понятиях, всё же Платон полагает, что возможности всякой науки ограничены допущениями (гипотезами) о существовании эмпирических объектов низшего уровня. Поэтому научная мысль “не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, в особенности тех, в которых она находит и почитает более отчётливое выражение”^[241].

Например, при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника (на плоскости) любой геометр, конечно же, использует чертёж, так как он даёт ясное и наглядное представление о содержании теоремы. Однако именно в силу этой наглядной и очевидной для наших чувств предпосылки геометрическая общезначимость объявленного результата доказательства остаётся необоснованной, пока мы эту предпосылку не исключили. По существу все общие результаты науки (в том числе и математики) имеют вид номологических условных суждений, в которых посылками служат гипотезы ad discendum et ad demonstrandum.

Неоспоримо, что бремя перехода от аксиом к теоремам лежит на самой науке. Но также неоспоримо, что бремя обоснования истинности аксиом лежит на философии. И определённый философский ответ на вопрос о том, каким образом частное может оказаться эквивалентом общего, даёт только теория идей. Именно она позволяет Платону сказать, что когда геометры “пользуются чертежами, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых они служат. Выводы свои они делают только для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали которую они начертили. Так и во всём остальном”, конкретные эмпирические объекты “служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором”^[242].

Конечно же, Платон, как ученик Сократа, принимал его метод индукции. Но он не видел логического пути от частного к общему. Место логики у него заступает механизм воспоминания (анамнез), возвращения к тому, что было, есть и будет до всякого познания, и для чего частное служит лишь побудительным мотивом. Поэтому Платон не стремится к упрочению абстракций за счёт примеров. Доказательство на примере – это формальный акт в постижении общей истины, которая заключена в общих понятиях, а не в том, чего можно коснуться “при помощи того или иного из чувств”^[243]

Создавая свою “методологию доказательства” Платон не отвергал конструктивный метод, основанный на построении фигур (пусть даже и идеальными циркулем и линейкой), но и не поощрял занятия этим методом, поскольку считал, что здесь нет восхождения к познанию геометрических истин “самих по себе”, то есть восхождения к идеям. В наше время эту мысль Платона повторил А.Пуанкаре, говоря, что конструктивный метод не позволяет нам подняться вверх, к свойствам родовых понятий, “а оставляет всё на том же уровне” абстракции^[244].

6.4. Аристотель. Две основные темы роднят метафизику Платона и метафизику Аристотеля: первая тема – “общее”, вторая – “доказательство”. Но если Платон вполне довольствовался метафизикой как искусством, то Аристотель стремился преобразовать метафизику в науку. Поэтому освещение этих тем у Платона и Аристотеля различны.

Тема общего раскрывается Платоном в онтологическом аспекте как тема трансцендентного, как тема “идей” (actio transiens). У Аристотеля эта же тема раскрывается в гносеологическом аспекте как тема абстракции (actio immanens).

Аристотель, по-видимому, первым начал рассматривать абстракцию как научный метод анализа явлений. И первой абстракцией, которой он пользовался неявно, была абстракция отождествления. Не случайно он говорит, что “мы познаём все вещи постольку, поскольку они некоторым образом представляют одно и то же (курсив мой – М.Н.) и поскольку существует что-нибудь всеобщее”^[245].

Рассматривать какие-либо вещи с некоторой точки зрения (“некоторым образом”) как “одно и то же” – значит явно или неявно вводить отношение типа равенства на совокупности (множестве) этих вещей и, как следствие, определять через абстракцию (отождествления) и классы равных в этом отношении вещей (так называемые классы абстракции) и – что гносеологически не менее важно – понятие об абстрактном (общем) объекте такого класса (например, понятие об “общем треугольнике” в отличие от данного конкретного треугольника АВС, начерченного мелом на классной доске).

Правда, общее (общий термин), по Аристотелю, “не обозначает некоторую данную вещь”, а только “некоторое данное качество вещи”. Однако общее “с логической точки зрения идёт раньше”, чем любая единичная вещь (сущность), и “более просто”, чем она. Наука же, во-первых, имеет дело с тем, что логически раньше, и, во-вторых, с тем, что является более точным, а более точным является более простое ^[246]. И хотя Аристотель говорит, что “мы не можем... принять, что есть некий дом [вообще ] наряду с отдельными домами”^[247], объективно указанный выше двойной процесс абстракции имеет смысл лишь постольку, “поскольку существует (курсив мой – М.Н.) что-нибудь всеобщее”, физически как бы “растворённое” в вещах и силой абстракции представленное как реалия в системе наших понятий. Таким образом, и об абстрактном мы вправе говорить как о сущем, ведь иначе научное познание, которое всегда направлено “на вещи общие” (сиречь – абстрактные), лишилось бы смысла.

Следовательно, математическим объектам “можно непосредственно приписывать бытие... и притом – бытие с такими свойствами, какие для них указывают математики”^[248]. И поскольку эти объекты суть “чистые формы абстракции”, всё, что мы хотим доказать о них, не может быть (единичной) сущностью, а только – абстракцией. Это означает, что в математике доказательства на примерах возможны, если только примеры имеют общий (абстрактный) характер. И по отношению к чувственным” объектам “могут иметь место и рассуждения и доказательства, не поскольку они чувственные, а поскольку у них – именно данный характер”^[249].

Иными словами, доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника не может относится к данному чертежу самому по себе, взятому как посылка доказательства, то есть к “этому вот” треугольнику АВС, начерченному мелом на доске, но – только к абстракции “треугольник вообще” (или “общий треугольник”). Что же касается материальных свойств чертежа, то это его привходящие свойства, которые геометрия как наука не изучает. Рисуя на доске данный треугольник АВС, мы не создаём “общий треугольник” как чистую форму абстракции, так что эта единичная посылка является в данном доказательстве посторонней. Начерченный треугольник можно стереть с доски, но “общий треугольник” стереть нельзя. А к тому, что стереть нельзя, как раз и относится доказательство.

Сказанное без труда объясняет, почему Аристотель исключил из своей силлогистики (теории доказательства) единичные термины. Это не было ошибкой Аристотеля, как полагал Я. Лукасевич ^[250]. Он (Лукасевич) просто смешал гносеологический и лингвистический аспекты проблемы. Dramatis personae логического языка (в силу соглашения) – единичные и общие термины ^[251]. Dramatis personae любой научной теории (в силу факта) – всегда и исключительно абстрактные понятия (объекты). Умозаключения с единичными посылками – это умозаключения о случайном (умозаключения топические). Но случайное, согласно Аристотелю, не может служить основой для доказательства. В случае доказательств следует брать посылки как можно более общие.

Аристотель ещё застал практику доказательств теоремы о сумме внутренних углов отдельно для каждого вида треугольников. Поэтому он ищет такой признак в классе всех треугольников, который позволил бы говорить об “общем треугольнике” и, соответственно, о доказательстве общей теоремы ^[252]. Рассуждения его не слишком отчётливы, но цель ясна: необходимо выделить (абстрагировать) “общий треугольник” как функцию от равных в определённом смысле (по данному признаку) объектов, то есть отношение равенства свести к тождеству, обеспечив таким путём существование и единственность искомого абстрактного объекта (понятия). Этот абстрактный объект (“общий треугольник”) Аристотель называет первичным в доказательстве и полагает, что нечто доказано для любого (произвольного) объекта в данном классе, если оно доказано для первичного. Именно (и только) возможность такого доказательства общего обеспечивает математике её дедуктивный характер, ведь “посредством чувственного восприятия невозможно знать что-либо, требующее доказательства”^[253] и “нельзя получить необходимого вывода (силлогизма), что у этого вот треугольника углы (в сумме – М.Н.) равны двум прямым, если они не у всякого треугольника составляют два прямых”^[254].

В этом последнем утверждении Аристотеля заключено кредо любой дедуктивной науки: логическими следствиями из аксиом можно считать только такие утверждения теории, которые не изменяют (и, естественно, не увеличивают) информацию, содержащуюся в аксиомах. В этом разумный смысл определения логического знания и понятия доказательства, принятого Аристотелем.

Утверждая доказательство как дедуктивный процесс, Аристотель понимал и необходимость эмпирических обобщений в практике научного исследования. Более того, он считал, что наука возникает опытным путём, так что общее – аксиоматическую основу дедуктивных наук (аксиомы и постулаты, закреплённые в суждениях, невыводимых теоретически), нельзя рассматривать, игнорируя определяющую роль индукции, последняя же “невозможна без чувственного восприятия”^[255]. И хотя, добавляет Аристотель, чувственное восприятие не может служить логическим аргументом для доказательства, всё же “кое-что в проблемах возникает из-за отсутствия восприятия, ибо некоторые предметы мы больше не исследовали бы, если бы их видели... хотя мы видели бы это отдельно в каждом отдельном случае, но вместе с тем мыслили бы, что так обстоит дело во всех случаях”^[256].

Со стороны Аристотеля это не было уступкой индуктивизму. Но, быть может, именно эти слова Аристотеля впоследствии дали повод его античному комментатору Александру Афродизийскому сказать, что и в логике возможны и допустимы ситуации, когда “доказательство получается через чувственное восприятие, а не по... модусу и не силлогистически” ^[257].

6.5. Томас Гоббс. Для нашей темы этот философ интересен прежде всего совместимостью в одном лице двух, казалось бы несовместимых, установок – эмпиризма и рационализма. Гоббс был эмпириком, и ему, а не Дж. Локку, принадлежит известный афоризм: нет ничего в интеллекте, чего прежде не было бы в чувстве. Но в то же время Гоббс “был приверженцем математического метода не только в чистой математике, но в её приложениях” ^[258].

Правда, рационализм Гоббса не походил на платоновский. Это был номиналистический рационализм, что отчасти избавляло его философию от внутренних противоречий. Из античных предшественников Гоббса можно, пожалуй, назвать ранних стоиков, положивших эмпирический аргумент в основу теории познания, а дедуктивный аргумент (дедукцию) – в основу теории доказательства. Согласно Гоббсу, наш опыт складывается из восприятий, но из опыта “нельзя вывести никакого заключения, которое имело бы характер всеобщности”^[259]. Восприятие только индуцирует исследования относительно его последствий. Поэтому Гоббс дополняет эмпирический аргумент лингвистическим: наблюдаемые связи (последовательности событий) обобщаются в словах и при помощи слов сводятся к общим правилам, называемым теоремами. Именно с этой поправкой на обобщающую функцию слова следует принимать допустимость перехода от частного (единичного как источника познания) к общему. Любой человек, “умеющий пользоваться словами, заметив, что равенство (суммы углов треугольника двум прямым – М.Н.) обусловлено не длиной сторон, не какой-либо другой особенностью его треугольника, а исключительно тем, что у него прямые стороны и три угла, и что это всё, за что он назвал его треугольником, смело выведет всеобщее заключение, что такое равенство углов имеется во всех треугольниках без исключения, и зарегистрирует своё открытие в следующих общих терминах: три угла всякого треугольника равны двум прямым углам. Таким образом, последовательность, найденная в одном частном случае, регистрируется и запоминается как всеобщее правило, что избавляет наш процесс познания от моментов времени и места, а нас – от всякого умственного труда, за исключением первоначального, а также превращает то, что мы нашли истинным здесь и теперь, в вечную и всеобщую истину” ^[260].

В приведённом отрывке индуктивность перехода к общему случаю только кажущаяся. Решающая роль, по мысли Гоббса, принадлежит здесь определению и основной аргумент – номинальный: определение “даёт общее понятие (курсив мой – М.Н.) определяемой вещи, являясь общим образом для ума, а не для глаза”^[261]. Гоббс отклоняет версию о существенной роли чертежа в доказательстве. Доказательство состоит не в “наглядном показывании”, как полагали античные геометры, и неверно, что “без помощи фигур истина... не может стать очевидной”^[262]. Но коль скоро мы хотим говорить о геометрическом доказательстве в собственном смысле, оно должно быть чистой дедукцией, основанной на определениях и силлогизмах: “во всех отраслях науки определения должны стоять на первом месте, чтобы сделать возможным истинное доказательство” ^[263].

Руководствуясь интуицией общности, которую Гоббс неявно нам представляет, можно превратить гипотезу о сумме внутренних углов треугольника в постулат, эквивалентный пятому постулату Евклида. Но достаточно ли одних определений для чистой дедукции? Можно ли из одного только (определения) общего понятия “треугольник” вывести общую теорему о сумме его внутренних углов? Об этом Гоббс не говорит ничего. И здесь уместно привести любопытную ремарку Аристотеля: “иметь углы, равные двум прямым, является для треугольника акциденцией, то есть чем-то, что может быть и не быть” ^[264].

Впрочем, у Гоббса был весомый аргумент в защиту номинального (конвенционального) характера определений, отделивший его философию математики от философии Дж.Локка и других английских эмпириков.

Согласно Гоббсу, наука не является видом знания. Это – область творчества. В науке речь идёт не о достоверности фактов, но об универсальных истинах – об общих чисто теоретических утверждениях (законах науки). Поэтому наука в принципе дедуктивна: это система рассуждений из общих положений посредством “правильной дедукции” – либо дедукции a priori, как в чистой (скажем, классической) математике, либо дедукции a posteriori, как в прикладной (или скажем, конструктивной) математике, математической физике и других науках о природе. При этом главная особенность чистой математики в её полной независимости от опыта, в абстрактности её понятий. Поэтому теоремы чистой математики (для Гоббса) – это аналитические истины: в процессе априорной дедукции мы только развёртываем содержание созданного нами объекта. В частности, “для познания любого свойства фигуры требуется лишь, чтобы мы сделали все выводы из той конструкции, которую мы сами построили при начертании фигуры” ^[265].

Очевидно, что такой подход не нуждается в особом логическом условии непротиворечивости исходных понятий, поскольку конструктивное (хотя и номинальное) определение понятия “через построение” естественно гарантирует существование определяемого предмета. Поэтому более поздняя лейбницевская замена номинальных определений реальными едва ли существенно улучшила гоббсовскую философию математики.

6.6. Джон Локк. Этот философ принадлежал к тому типу мыслителей, для которых “понятие реальности неизбежно совпадает с реальностью вещей, познаваемых при посредстве внешних чувств, – вещей, индивидуальность которых реальна, если её противопоставить абстрактной идее”^[266]. Между тем, центральное понятие локковской теории познания – понятие идеи – столь широко, что трудно без каких-либо оговорок окрестить эту теорию как чистый эмпиризмом, хотя Локк солидаризируется с философией Гоббса именно в той её части, в какой эта философия эмпирична и номиналистична. Пользуясь классификацией Карла Юнга, для которого рациональность является общей “психологической установкой” как платонизма, так и эмпиризма, можно сказать, что Локк отклоняет “логический рационализм” Гоббса, но принимает его “сенсуалистический рационализм”.

Однако и это не даёт ещё оснований для характеристики Локка как эмпирика. Утверждение, что “всякое общее познание мы можем искать и находить только в собственном уме; и только изучение наших собственных идей даёт нам такое познание”^[267], – это по меньшей мере уступка априоризму, признание права ratio на собственную, независимую от опыта, обработку материала, заключённого в идеях.

Лишь отрицательный ответ на вопрос, существует ли лучший способ “получения ясных и отчётливых идей, чем тот, при котором мы получаем их посредством чувств”, выдаёт эмпирика, вряд ли способного согласовать свой эмпиризм с декларируемой им “несомненностью” и “достоверностью” математических абстракций “в приложении к реально существующим вещам”. Когда Локк говорит, что существовать математически, значит существовать “совершенно точно”, он понимает точность, как её понимают физик или инженер. В частности, он пишет: “Кто приобрёл идею треугольника и нашёл способ измерить его углы и их величины, тот знает достоверно, что сумма