Глава 3. Абстракция постоянства

Не ропщите: всё проходит

(Е.А. Баратынский)

видимо, нельзя говорить о знании,

если все вещи меняются и ничто

не остаётся на месте.

(Платон)

3.1. Абстракция постоянства и повседневный опыт. К “миру переменных” мы привыкаем с детства. На непосредственном личном опыте мы постигаем мудрость пословицы: “Всему бывает перемена”. Позднее нам объясняют причины перемен, а иногда мы находим эти причины сами. И всё же мир переменных – это не единственный понятный нам мир. Вопрос о том, всё ли проходит, дополняется для нас вопросом о том, когда проходит.

И повседневный, и научный опыт нас учит, что известная поговорка нуждается по крайней мере в таком уточнении: всему бывает перемена, если иметь в виду достаточный период времени. Слово “достаточный” здесь, конечно, неопределенно. В нашем разъяснении оно играет роль “ситуационной переменной”, принимающей разные значения для разного опыта. Но главное, что оно выражает практическую суть дела: для любого явления (природы или нашего сознания) найдется период времени, в течение которого это явление можно считать (и мы на самом деле его считаем) постоянным. Иными словами, за некоторый период времени мы переменную можем рассматривать (и на самом деле её рассматриваем) как постоянную, полагая, что в этот период значения переменной тождественны.

Так, в частности, приходится поступать при решении “вычислительных задач, соответствующих отдельным этапам моделирования действий в среде, которая считается неизменной в течение некоторого интервала времени”^[114]. Так мы переживаем и мыслим самих себя. Так возникает наше понятие о тождестве личности во времени. Ведь при этом, как об этом говорил ещё Фреге, речь идёт прежде всего о том, что должно узнаваться в изменении как то же самое: “Если государь стареет, он изменяется. Но, несмотря на изменение, его можно узнать как того же самого государя. Если же, напротив, государь умирает и на трон вступает его преемник, то уже нельзя говорить, что первый превратился во второго, потому что новый государь не является тем, чем был старый государь”^[115]. Мысль о необходимости для познания “условия постоянства” Фреге проводил с настойчивостью даже в самых математических своих работах: “Если бы всё находилось в состоянии постоянного изменения и ничто не сохранялось бы постоянным во времени, то не было бы никакой возможности получить знания о мире”^[116].

В соответствии с максимой “всё течёт” мы принимаем идею преобразования, порождающего последовательность “образов личности”, неотличимых, как мы знаем по опыту, в каждом весьма малом временном интервале, но в произвольном интервале, вообще говоря, существенно различных.

В том же смысле и эволюционный ряд для нас – это, по существу, только цепь суперпозиций таких преобразований, которые хотя и не являются тождественными автоморфизмами “в себе”, но на том или ином участке этой цепи кажутся именно такими автоморфизмами. Говоря иначе, эволюционный ряд – это транзитивное замыкание преобразований, в которых последний член произвольной n -ой суперпозиции существенно неотличим от первого члена (n + 1)-ой суперпозиции. Нарушение транзитивности в этом процессе (когда мы это явственно наблюдаем) означает разрыв непрерывности, возможную смену направления развития, а возможно, и полный разрыв преемственности – революцию ^[117].

Всё это позволяет считать, что свойственный нам повседневный взгляд на мир сопровождает абстракция постоянства. В частности, абстракция состоит в том, что любое явление, даже сам процесс изменения, когда мы о нём говорим или его изучаем, мы мыслим как функцию, постоянную в фиксированном временном интервале, то есть мы мыслим и судим о постоянстве этой функции не вообще, а только в некотором, для каждого явления, понятно, своём, временном интервале, в котором это явление “для нас” или относительно условий, существенных для суждения о нём, не претерпевает никаких изменений (производная постоянной равна нулю).

Было бы, однако, ошибочно полагать, что только отвлечённому мышлению свойственно прибегать к абстракции постоянства ^[118]. Говоря о постоянстве явлений как об абстракции, в противоположность реальному процессу их непрерывного изменения, мы ориентируемся, конечно, и на научный опыт, и на условия нашей повседневной жизни, важнейшим фактором которой, если эта жизнь складывается для нас благополучно, является её устойчивость.

Вообще говоря, мы охотно экстраполируем и универсализируем любой подходящий опыт. К примеру, мы универсализируем обычную (классическую) практику измерения времени, согласно которой его течение, “ритм времени” – физический инвариант ^[119]. Возможно, что для математика время и течение времени – это хороший пример потенциальной бесконечности, поскольку кажется, что “нельзя представить себе, что имеется какой-то самый последний момент времени, за которым уже совсем нет никакого времени”^[120]. Однако психолог или писатель по отношению к словам, взятым в кавычки, будут более осторожны. Они, быть может, даже возразят математику. Им-то хорошо известно, что выражения “время остановилось” или “самый последний момент времени” – вовсе не бессмысленные обороты речи. Это или отражение психического состояния, субъективный факт “переживания времени”, в котором течение времени перестают воспринимать, перестают чувствовать себя во времени^[121], или же отделившее время от вечности возвышенное понимание жизни, достижение ею наивысшего момента, когда “она уже в вечности, для нее время остановилось”^[122].

Можно сказать, конечно, что такие психолингвистические возражения не касаются сути дела и не достигают цели, поскольку их легко отвести простым замечанием, что необходимо строго различать объективные и субъективные аспекты значений терминов. Но так ли уж абсолютно здесь, да и в других случаях, такое различение? Мысль, что “нельзя представить себе” и связанную с ней точку зрения, математик заимствует из той же психолингвистической практики употребления понятий и, не обращая на это внимания, возводит свою позицию в ранг общезначимой истины только потому, что она позволяет, создать ему связную и далеко идущую систему абстракций, называемую математическим анализом. Но для псии_ачимой истины только потому, что она позволяет, создать ему связную и далеко идущую систему абстракций, называемую математическим анализом. Но для пс_ различение? Мысль, что “нельзя представить себе” и св3.2. Абстракция постоянства и научный опыт. Когда какая-либо абстракция с успехом применяется в познании, разумно поискать объективные основания этого успеха. Субъективные основания для абстракции постоянства, очевидно, есть. В частности, абстракция постоянства освобождает организм от непосильной информационной перегрузки, которая неизбежна в случае различимости произвольно малых изменений в произвольно малые интервалы времени. Но эта цель оказалась бы совершенно бесполезной для адаптации и не была бы достигнута, если бы постоянство явлений, отраженное в этой абстракции, было ложным изображением действительности, своего рода миражом, вызванным инстинктом самосохранения, субъективной активностью организма, но лишенной онтологической (реальной) основы. В том-то и дело, что истинность познания требует постоянства в объективной реальности не меньше, чем в её субъектном образе. Известные нам законы природы не только выражают инвариантность как абстракцию от изменяющихся явлений, но и предполагают инвариантность как условие самих явлений, как их объективную возможность или действительность, отражённую в законах. Вот почему, строго говоря, и суждение о непрерывной переменности (panta rei), опоэтизированное Гераклитом, – это тоже абстракция, не более и не менее, чем абстракция постоянства.

Мы теперь равно говорим и о возрасте Земли, и о возрасте атома, почти не задумываясь над смысловым различием слова “возраст” в каждом из этих контекстов. Но в последнем мы слишком далеки от “естественной” семантики этого понятия. Очевидно, что наш внутренний опыт, связанный с индивидуальным старением во времени, с привычным свойством изменения во времени, существенно входит в наше понятие о возрасте. Так, если каким-либо образом удалось исключить для человека естественную возможность формирования понятия о времени на “внешней” (объективной) основе^[123], то у него всё же осталась бы “внутренняя” (субъективная) основа для аналогичной оценки времени. Например, человек без труда смог бы различить предикаты “молодой” и “старый” по личным фотографиям, разделенным, скажем, промежутком в пятьдесят лет. Но атом, руководствуясь своим “внутренним опытом”, этого сделать не сможет, если даже фотографии “молодости” и “старости” атома разделит промежуток в миллиарды лет – его образы на этих фотографиях будут точными копиями друг друга.

Наконец, основным аргументом и в пользу абстракций переменности, и в пользу абстракции постоянства являются законы сохранения, для которых с уверенностью доступной нам на сегодня теоретической оценки можно указать пока единственный временной интервал: – Ґ< t < + Ґ ^[124].

О какой бы переменности ни шла речь, не подразумевается, конечно, что эта переменность вообще произвольная, не подчиненная каким-либо законам. Посылка о закономерности лежит в основе наших индуктивных гипотез об изменении объектов, об их “поведении”. По крайней мере, мы обычно не ожидаем, что, изменяясь, вещь перейдёт в другой род – в “чужой” таксон, лежащий на произвольной ветви развития. Я могу стать стариком, но, конечно, не могу стать женщиной. Иначе говоря, значения переменной, ожидаемые нами, с большой вероятностью должны лежать в заведомо определённом классе – в области её изменения, хотя этот класс и необязательно мыслить как актуально данный. К примеру, я ещё не стал, стариком, а только могу им стать. В общем случае класс значений – это порождаемый класс. Он всегда в процессе становления. Соответственно и универсум должно мыслить in statu nascendi^[125].

Итак, говоря о постоянстве явлений во временном интервале, я имею в виду и закон (характер) изменения значений соответствующей переменной, который тоже необходимо включить в этот интервал ^[126]. Точнее, надо связать абстракцию постоянства и закон изменения явлений. Только в этом случае абстракция постоянства получит желаемый теоретический смысл. Только тогда можно будет говорить об интервале абстракции постоянства в собственном смысле.

Хорошим примером названной выше связи служит явление радиоактивного распада. Действительно, хотя излучая, вещество изменяется, для некоторых радиоактивных веществ скорость изменения начальной их массы (как функции времени распада) при этом столь незначительна, что путем обычного взвешивания (с наибольшей доступной нам точностью) изменения массы невозможно обнаружить ни в вековой, ни даже в тысячелетней практике человечества. И только закон радиоактивного распада (в его дифференциальной форме) уточняет интервал абстракции наблюдаемого постоянства массы для любого радиоактивного вещества. На основе этого закона можно заведомо указать (рассчитать) такой невырожденный временной интервал, в котором для каждого его момента изменение массы радиоактивного вещества фактически будет равно нулю. А это означает, что при любой заданной конечной точности измерения абстракция постоянства данной массы вещества в интервале этой абстракции обоснована как эмпирический факт. Как известно, этот интервал связан с постоянной радиоактивного распада и не зависит ни от каких прочих условий.

В своей замечательной книжке о времени Дж. Уитроу обсуждает гипотезу, согласно которой ни один материальный или идеальный процесс не может осуществиться за время, меньшее некоторой атомарной единицы времени – хронона^[127]. И если держаться феноменологического представления о течении времени как непрерывности, в которой “каждый определённый момент времени совершенно неуказуем”^[128] (в которой, следовательно, нет места для математического строго точечного “теперь”), то трудно удержаться от искушения и не релятивизировать хронон, истолковав его, равно как и психологическое “теперь”, в смысле экспериментально подтверждаемого тезиса об интервале абстракции постоянства материальных или идеальных процессов. Тем более что названный тезис оправдывается также и теоретически представлением об интервальной, а не точечной одновременности в соответствии с принципом относительности одновременности^[129].

3.3. Абстракция постоянства и закон тождества. Всё сказанное выше об абстракции постоянства носит откровенно философский характер и поэтому может показаться недостаточно ясным. Очевидно, первым нефилософским теоретическим выражением этой абстракции является закон тождества в логике – закон постоянства высказываний (или принцип сохранности ^[130]): любая законченная мысль, представленная в форме высказывания и имеющая определенное истинностное значение, должна сохранять свою первоначальную форму и свое значение в явном или подразумеваемом контексте на протяжении всего процесса рассуждения (доказательства), в котором участвует это высказывание. Замечу, что, в отличие от общепринятой позиции и в соответствии с содержанием абстракции постоянства, я не хотел бы говорить о законе тождества как о существенной идеализации в процессах мышления.

Если речь идёт о высказывании А, то в языке логического исчисления указанную “сохранность” обычно кодируют формулой (A Й А). Сама по себе эта формула не означает, конечно, принятия А в качестве истинного высказывания: импликация (А Й А) Й А не является общезначимой. Но если А принято, то необходимо принять и абстракцию постоянства (закон тождества) для А поскольку формула A Й(A Й А) – это уже общезначимая формула. Вообще слева от
(A Й А) всегда можно написать конечную или же бесконечную последовательность префиксов вида “ А Й“, группируя скобки вправо от префикса. Замечательно, однако, что и для классической, и для интуиционистской логики это сведение абстракции постоянства высказывания к принятию самого высказывания имеет более сильную форму следующей теоремы: если при допущении высказывания для него отрицается закон тождества, то тем самым отрицается и это высказывание. Или, на языке исчисления: A Й ((A Й A) Й А). Сама по себе эта формула выглядит тривиальной. Интересно, однако, что она является (как я обнаружил) подстановочным случаем более общей теоремы (А Й ((В Й А) Й А), которую я позволил себе называть формальным аналогом закона достаточного основания ^[131]. По-моему эта теорема является также сильным аргументом в защиту regressus ad infinitum против аристотелевской идеи аподейктического знания, поддерживая аргументы его противников (скептиков и мегариков), которые утверждали, что “ни одно положение (включая аксиомы и постулаты – М.Н.) не может приниматься за истинное, если не найдены другие, из истинности которых это положение следует” ^[132].

В классической логике верна также формула (А Й (В Й А)) Й А, а в интуиционистской – формула (А Й (А Й (В Й А))) Й А.

Предполагаемый изоморфизм логики высказываний и логики событий естественно приводит к онтологическому смыслу абстракции постоянства ^[133].