Глава 7. Абстракция неразличимости

Отношения, познающиеся из опыта,

всегда не вполне достоверны и совер-

шенны, и однако же сравнению всегда

есть за что уцепиться.

(Мишель де Монтень, “Опыты”)

Представление о неразличимостях, о которых преимущественно здесь пойдёт речь, основывается на известной и простой идее: они должны зависеть от информационной техники, с помощью которой приобретается и отображается знание о мире. К такой технике в первую очередь относятся, конечно, наши естественные средства познания – наши органы чувств.

Что же касается чистой логики и математики, то, относя их к информационным средствам познания, следует иметь в виду, что эти средства как бы второго порядка, они в сфере “чистого разума”. Это своеобразная надстройка над опытом, с помощью которой не столько непосредственно отображается, сколько путём абстракции конструируется мир.

Оправданием такой особой информационной роли чистой логики и математики является хотя бы тот факт, что строгость этих дисциплин требует, чтобы погрешности (ошибки) в решении вопроса о неразличимости объектов, представленных, к примеру, в виде уравнений (логических форм числовых равенств) всегда были равны нулю. Приближенные равенства как предмет для изучения – дело прикладной математики (численного анализа), а это уже вопрос не только “чистой теории”.

Если принять, что и чистой математике не чужда природа информационной неразличимости, то речь может идти лишь о природе идеального порядка – неразличимости как “истине разума”, не столько полученной извне, сколько созданной изнутри с бесконечной точностью. А для этого необходим идеальный наблюдатель, логика решений которого не зависела бы от пороговых характеристик, неизбежных в случае эмпирических наблюдений.

Бесконечность логико-математической точности формально объясняется абстракцией предельного перехода:

lim 1 / D х, когда D х ® 0.

Здесь D х – погрешность оценки значения х, а 1/ D х – формула точности. Говоря иначе, неразличимость в смысле логики и математики предполагает, что D х бесконечно мала. И если перевести это на метрический язык, то равество (тождество по идеальной неразличимости) можно выразить формулой

х = у є "e | х - у | < e.

Это определение принял бы, по-видимому, и Лейбниц, который явно выделял идею сравнимости расстояний и поэтому яснее, чем кто-либо до него, видел скрытую в этой идее возможность определять тождество через его противоположность – через различие, или, по собственному выражению Лейбница, как последнее из неравенств: “равенство может рассматриваться как бесконечно малое неравенство, где различие оказывается менее всякой данной величины”^[313].

С чисто теоретической точки зрения философия предельного перехода заключена в абстракции бесконечности. Но с точки зрения эмпирической она, конечно, в другом. Она – в идее границы. В приведённой выше формуле граница открыта. На практике она замкнута. Поэтому в случае эмпирического тождества квантор общности придётся опустить, а символ тождества связать пороговой точностью различений. На практике граница неразличимости мыслится, вообще говоря, как интервал (отрезок), в котором лежат (в который укладываются) почти все значения измеряемой переменной (члены последовательности результатов измерений). Поскольку речь идёт о бесконечном множестве значений (измерений) одной и той же величины, мы можем мыслить истинное значение этой величины как единственное значение, выражаемое определённым числом (с теоретической точки зрения – пределом последовательности). Но поскольку мы не можем обойтись без реального наблюдателя, который производит измерения, мы должны учесть, что он занят различением (оценкой) значений с присущим ему порогом различения (порогом чувствительности), который выражается некоторым сравнительно малым (хотя, вообще говоря, произвольным) положительным числом e. Очевидно, что наш наблюдатель будет различать между собой все значения переменной, абсолютная величина разности между которыми превышает значение e. Но значения переменной, которые разнятся меньше, чем на e, для наблюдателя будут неразличимы, хотя их будет (теоретически) бесконечно много в интервале
[ а – e, а + e ], где а – истинное значение измеряемой величины (то есть, с теоретической точки зрения, – предел последовательности измерений). Конечно, чем меньше e, тем точнее работа наблюдателя. Она была бы абсолютно (теоретически) точной, если e можно было бы взять равным нулю. Однако практически (с эмпирической точки зрения) это невозможно. Поэтому даже идеальный наблюдатель (при условии, что e № 0) всегда будет следовать указанию Платона: если есть два, но мы не знаем об этом, то для нас есть только одно.

Таким образом, утверждение, что предельная точка существует (к примеру, в виде истинного значения величины) и притом только одна, будет иметь гносеологически различные образы, в зависимости от ситуации, в которой делается это утверждение. Для наблюдателя истинность этого утверждения (о существовании и единственности) будет относительной, ограниченной существованием интервала неразличимости (в принципе бесконечного) множества (ненаблюдаемых) индивидов, для математика, доказывающего соответствующую теорему, она будет абсолютной, выраженной в точном математическом смысле понятия предела.

Следовательно, с неразличимостью как истиной разума мы встречаемся только в теории, в частности в классической теории континуума, в топологии, в теории моделей. Неразличимость не имеет здесь ни психологической, ни эмпирической нагрузки. Мера близости здесь полагается бесконечно большой. Поэтому, к примеру, в одном понятии неразличимости точек пространства объединяются и условие их индивидуации и условие их тождества. И возможно, это как раз тот случай, который имел в виду Лейбниц, выдвигая свой принцип тождества неразличимых. Однако по отношению к явлениям чувственного опыта уже Кант требовал эмпирического, а не “чистого” употребления понятий. А в этом случае невозможно обойти молчанием понятие наблюдаемой неразличимости.

7.1. О тождестве неразличимых. Этот раздел параграфа полезно начать с короткого, но выразительного анонимного диалога:

“А. Принцип тождества неразличимых мне кажется совершенно ясным. Я не вижу, как можно было бы определить тождество или установить связь между математикой и логикой, если не использовать этот принцип.

В. Напротив, мне он кажется абсолютно ложным. И ваше беспокойство как математического логика здесь ни при чём. Если принцип ложен, мы не имеем права им пользоваться” ^[314].

Выражение “тождество неразличимых”, доставшееся нам от Лейбница, почти два столетия воспринималось как метафизический, а не логический постулат. Оно вошло в философский обиход как имя идеи не слишком-то определенной или, пожалуй, настолько неопределенной, что весь последующий опыт и соответствующие этому опыту научное знание и логика, даже развиваясь, не вступили в противоречие с этой идеей. Напротив, они всеми силами старались её утвердить – каждый, разумеется, на свой манер. И здравый смысл тоже охотно пользовался любыми намеками на эту идею, применяя выражение “тождество неразличимых”, так сказать зa dйpend, извлекая по-своему выгоду из неоднозначности или размытости его смысла.

Правда, на первый взгляд однозначность понимания все же была. Она проявлялась в законах логики тождества, восходящих отчасти к тому же Лейбницу. Но если верно, что по смыслу этого принципа “понятие тождества сводится к понятию неразличимости” ^[315], то всё же остаётся вопрос, как толковать неразличимость, входящую в содержание этого принципа?

Согласно Лейбницу, как замечено выше, тождество и неразличимость не “живут” обособленно. Диалектика их единства составляет, по выражению того же Лейбница, один из великих принципов метафизики. И всё же, уточняя смысл выражения “тождество неразличимых”, мы можем сделать логический акцент либо на понятии “тождество”, либо на понятии “неразличимость”. В семантике естественного языка эти понятия, как известно, не совпадают. Но в языке научном они часто используются как синонимы. Правда, акцент на понятии “тождество”, даже в научном языке, обязывает нас, по-видимому, к большей строгости; он ближе к рациональным установкам познания, чем акцент на слове “неразличимость”, который, напротив, интуитивно ближе к познанию эмпирическому, связанному с данными наблюдений. Быть может, именно в силу этой двойственности потребность в эвристическом обсуждении этих понятий “во всей их полноте” не ослабевает, несмотря на уже известные аксиоматические их формулировки. При этом очевидно, что речь здесь идет о начальных истинах познания, а “трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам” ^[316].

Готлоб Фреге в статье“Sinn und Bedeutung” отмечает, что с понятием тождества связан ряд вопросов, ответить на которые совсем непросто. На некоторые из этих вопросов Фреге все же дает ответы. Как известно, эти его ответы стали классическими и настолько общепринятыми среди логиков, что редакторы русского перевода названной статьи сочли возможным сопроводить её словами: “Статья датирована 1892 г.; кажется, что она написана вчера” ^[317].

Однако в философской повести о тождестве неразличимых мне всегда виделась иная интрига, чем та, что привела к концепции Фреге. Его ответы, вполне корректные и убедительные, но сводящие тождество внеязыковых реалий к чистой тавтологии, не могут в полной мере удовлетворить тот исследовательский интерес, который и в прошлом, и в настоящем вызывает проблема тождества неразличимых.

Фреге выбирает только одну составляющую пары – тождество – и для неё находит решение. Семиотический аспект, которым он при этом сознательно ограничивается, разрешение проблемы тождества усматривает по существу в понятии синонимии. Для него отношением тождества неразличимых связаны только знаки: отношение тождества имеет место всякий раз, когда в данной интерпретации языка одно из отождествляемых (и, вообще говоря, различных) имён обозначает (называет) ту же вещь, что и другое. При этом выражения “та же вещь”, “один и тот же объект” и пр., являясь частью семантического анализа отношения тождества, как бы выносятся за скобки и сами дальнейшему анализу не подлежат. И это вовсе не голословное утверждение, поскольку, как правило, соглашаются с тем, что употребление “слов “тот же самый” или “тождественный с” принадлежит наиболее важной части нашей способности рассуждать и не может быть объяснено при помощи более простых понятий” ^[318]. В лучшем случае за разъяснением этих слов нас отсылают к некоторой действительности (модели), которая, какова бы она ни была, лежит уже за пределами рассматриваемого языка и логики.

Концепция Фреге была продиктована нуждами его Begriffsschrift, и в этом смысле она избегает упрека. Но очевидно, что для теории тождества, претендующей на решенияen bloc, семиотическим аспектом не может исчерпываться проблема. Когда Локк говорил о “неразличимо сходных”, когда Лейбниц и Кларк в своей переписке полемизировали о тождестве неразличимых, они, конечно, имели в виду не случайные совпадения в значениях слов и знаков, а необходимые и достаточные основания для суждений о тождестве применительно к объектам всей объективной реальности. В объяснении тождества неразличимых реалий, а не тождества терминов видели они подлинныйcasus delicti. Напротив, для Фреге онтология тождества тривиальна: когда говорят о тождестве вне знаковой функции слов, надо подразумевать отношение, “которое возможно только между вещью и ею же самой” ^[319].

Ясно, что при таком разъяснении вопрос о том, как внеязыковые ситуации отражаются в известных логических определениях (формулах) тождества и возможно ли вообще обоснованное употребление этих определений за пределами чисто языковых реалий, разрешается тривиально. Логика указывает нам предельный случай трактовки выражения “тождество неразличимых” – это самотождественность. Но при этом она не может нам объяснить видимую избыточность этого выражения, его “зачем-то” раздвоенность на “тождество” и “неразличимость”, что явно подрывает претензию логики на замкнутость образа и однозначность (и общность) предлагаемого ею решения. Обоснованно рассчитывать на равносильность понятий указанной пары естественно лишь тогда, когда мы сами порождаем эту равносильность посредством подходящих соглашений.

Я не утверждаю, что на пути, по которому пошла логика после Фреге, неразличимость была полностью поглощена тождеством, хотя, как я уже заметил выше, удовлетворительной логической теории неразличимости эмпиризм не создал. Но когда вопрос о неразличимости (а не только о тождестве) стал актуальным для логики, неразличимость всё же пришлось определять независимо от тождества, невольно ослабляя трансцендентный смысл первоначальной идеи. Принцип тождества неразличимых потерял при этом абсолютный характер. Однако он по-прежнему остался “чистым понятием”, выходящим за рамки возможностей эмпирического опыта в той мере, в какой выходят за рамки этого опыта все идеальные понятия (идеализации) формального логического языка. И тем не менее, стало ясно, что заключать от тождества к неразличимости или от неразличимости к тождеству – это, вообще говоря, совсем не одно и то же, поскольку в этом случае уже нельзя игнорировать конкретные процедуры, условия или способы неразличений и зависимость результатов неразличений от явно или неявно принимаемых при этом абстракций.

С формальной точки зрения тождество (неразличимых) является логической постоянной. Роль этой постоянной и её смысл (даже при различных подходах к её определению) теоретически инвариантны независимо от того, какой при этом подразумевается опыт. В этом естественно проявляется априоризм логической трактовки понятий. Но с содержательной точки зрения тождество (неразличимых) в основе своей эмпирично по крайней мере в том смысле, что оно “относится исключительно к возможностям различения ” ^[320] (Курсив мой – М.Н.). Чем именно обусловлена эта возможность различения, в принципе очень существенно, если иметь в виду гносеологию вопроса. Всегда важно уточнять, соответствует ли она собственно эмпирическим условиям распознавания (узнавания), или тем, что допускаются только теоретически, например, согласно теоретико-множественной концепции индивидных областей (универсумов рассуждений).

Отношение тождества (неразличимых) в его формальном аспекте можно уподобить универсальным физическим постоянным, которые, как известно, не зависят от системы отсчета, где измеряются их значения. Напротив, отношение тождества (неразличимых) в его содержательном аспекте, отнесенное к возможностям различения, уже не является универсальной постоянной – это ковариантная величина, относительная к определенной “системе отсчета”.

Очевидно, что только содержательный аспект позволяет включить эмпирическую неразличимость в объём понятия о тождестве неразличимых. С формальной точки зрения мы не можем принять редукцию тождества к эмпирической неразличимости, не впадая в противоречие или не ослабляя логический смысл понятия. Именно формальная точка зрения не позволяет поставить понятие тождества в зависимость от того или иного порога различения индивидов, поскольку имеется в виду универсальная приложимость этого понятия. Таким образом, проблемная ситуация здесь налицо: чтобы понятие тождества получило нетривиальный смысл в приложениях, его формальный аспект должен иметь опору в содержательном; между тем именно в этом последнем аспекте, основанном на возможностях различения, отношение тождества не может выражаться иначе, как неразличимостью, несовместимой с формальным аспектом.

Традиционный подход к преодолению этой трудности состоит в том, чтобы рассматривать тождество как теоретическую идеализацию реальных отношений. Он вводит тождество как предел, к которому стремится переменная неразличимость. И хотя на практике такое тождество недостижимо, теоретически всё же полагают, что предельный переход завершен. Таким образом, в теорию тождество вводится как достижимая абстрактная реалия, отличная от любого из тех ее эрзац-представлений, которые мы получаем методом последовательных приближений. Но по завершении перехода к пределу кажется вполне естественным истолковать тождество в его формальном (логическом) аспекте, по принципу Лейбница, как единственную абсолютную (“последнюю”) неразличимость, а все её конечные приближения – как неразличимости относительные, обусловленные особенностями средств различения.

Существенным теоретическим следствием указанного традиционного подхода является такая топология на универсуме, при которой структура универсума отделена (независима) от “внешней” для нее практики измерений. Поэтому традиционная концепция строится не на интервальных, а на точечных образах. Она опирается, с одной стороны, на представление об универсуме как точечном множестве, а с другой – на далеко идущую гипотезу о возможности (трансцендентной) индивидуации всех элементов этого множества.

Использование столь сильной абстракции индивидуации полностью согласуется с классической логикой рассуждений. Вместе с тем оно отвечает и существу дела, поскольку индивидуация большинства абстрактных объектов, вводимых в контексте теоретико-множеаственных идей, невозможна без использования трансцендентных понятий.

Однако с точки зрения чисто гносеологической решение вопроса об индивидуации зависит от возможностей эффективной характеризации индивидуального, ведь то, что в онтологическом смысле существует как “в-себе-бытие”, не обязательно существует и для познания. В частности, в классическом континууме, который мыслится как завершённое точечное множество, каждая его точка имеет
“в-себе-бытие”, но эффективное (числовое) представление имеет не каждая. Те, что не имеют индивидуализирующих описаний (а их большинство), как объекты познания не определены однозначно, их существование подразумевается, так сказать, absolute spectatis и соответствует трансцендентной абстракции индивидуации в её онтологическом смысле. Использование столь сильной абстракции индивидуации полностью согласуется с классической логикой рассуждений, для которой индивидуация большинства абстрактных объектов, вводимых в контексте теоретико-множественных идей, невозможна без использования трансцендентных понятий. Но для эмпирической логики понятен и оправдан интерес к такой концепции тождества и индивидуации, которая зависит от возможностей эффективной характеризации индивидуального, ведь то, что в онтологическом аспекте допускается как “в-себе-бытие”, не обязательно имеет смысл в аспекте эмпирическом.

Вот почему нас нередко беспокоит вопрос об объективности наших понятий: существует ли их содержание именно так, само по себе, или только как функция описания? С этой гносеологической позиции интересна именно такая интерпретация принципа тождества неразличимых, которая была бы адекватна феноменологическому фрагменту общей научной картины универсума, отражаясь, в частности, в логике наблюдаемых. В рамках такой логики у нас нет оснований приписывать трансцендентный смысл принципу тождества неразличимых. Даже абстракция отождествления выглядит в этом случае слишком сильной, слишком теоретической абстракцией. При условии, что мы интерпретируем наблюдаемые как сенсорные стимулы, нам остается только одна абстракция, релевантная представлению о тождестве неразличимых в пространстве опыта, – это абстракция неразличимости.

7.2. Абстракция неразличимости. Эта абстракция была сформулирована и принята в рамках интервального подхода для уточнения гносеологических ситуаций, в которых ответ на вопрос о содержании принципа тождества неразличимых даётся с учётом информационных возможностей познания, в частности, – с учётом актов восприятия (разрешающей способности) наблюдателя или какой-либо другой информационной системы. В определённом смысле абстракция неразличимости – это преобразование и обобщение лейбницевской метафизической идеи на эмпирические условия познания, чем и оправдывается введение специального термина “абстракция неразличимости”. Я ввёл этот термин в 1976 г., хотя неявно сама абстракция подразумевалась уже в моей более ранней статье ^[321].

В отличие от концепции Фреге, в случае абстракции неразличимости понятие тождества ставится в ряд производных понятий, а за исходное принимается понятие неразличимости, в котором (в отличие от понятия тождества в его собственно логическом смысле) необходимо отражаются свойства познающей структуры, характеризующие её способность к раздельному отображению образов внешней среды. Очевидно, что любая такая неразличимость есть неразличимость “с точки зрения”, совпадающей с точкой зрения соответствующей познающей структуры. При этом в отсутствии априорной информации об универсуме (предметной области) эмпирически реальный процесс отождествлений и различений реальных объектов опыта (в пространстве и во времени) детерминирован конечной информацией о наблюдаемых состояниях этих объектов. Естественно, что тождество по неразличимости в этом случае может изменяться от аспекта к аспекту (соответственно точке зрения), то есть является, как я уже отмечал, по существу ковариантной, а не инвариантной величиной, что избавляет понятие “тождество неразличимых” от обычного упрёка в тавтологичности.

Ясно, что для неразличимостей как “истин факта” ошибки наблюдения (измерения) должны входить существенной составной частью в их определение. В соответствие с этим абстракция неразличимости отвечает на вопрос о том, как строится универсум в индивидуальном “сознании” наблюдателя (или какой-либо информационной системы), когда нельзя пренебречь субъективной особенностью процесса (акта) распознавания, то есть когда должны быть приняты во внимание “внутренние” представления об универсуме, индуцированные конечной информацией о неразличимости образов в сенсорном пространстве наблюдателя. К примеру, человеческий глаз воспринимает и различает только конечное число градаций яркости, не замечая тех объективно различных градаций, которые заключены в пространстве меньшем, чем пространственный порог разрешения для глаза^[322]. Ситуация такого рода является основной гносеологической ситуацией в любых познавательных актах, где речь идёт об измеримых признаках объектов.

Как следствие (вне всяких абстракций потенциальной или актуальной бесконечности), абстракция эмпирической неразличимости предполагает заведомую неопределённость (“энтропию опыта”) в суждениях о том, какая истина выражается (отражается) фактом этой неразличимости. Это остаётся так и в том случае, когда точность наблюдения берётся как переменная (монотонно убывающая) величина, поскольку в своём изменении она не может стать исчезающе малой (бесконечно малой), хотя бы потому, что значительное увеличение точности исключает возможность “чистых” (невозмущаемых) наблюдений и в конечном счёте приводит к квантовым эффектам.

Стало быть, и здесь понятие об интервале абстракции будет необходимо, чтобы избежать “кажущихся тождеств” в ситуациях эмпирических отождествлений и тем самым исключить возможность противоречий, связанных с относительностью отождествлений. Это интервальный путь решения вопроса. На другом, но тоже абстрактном пути, Лейбниц онтологию наблюдаемых заменяет онтологией абстрактных объектов (мысленных сущностей) и таким образом разрешает “запутанный вопрос” о структуре континуума ^[323].

Именно эта лейбницевская идея оказалась отправной для логики. Правда, логика отчасти ослабила трансцендентный смысл этой идеи, придав ей квазиноминалистический (конструктивный) вид тождества неразличимых по признакам, выразимым в соответствующем формальном языке описания. Но этого по существу достаточно, чтобы полностью вывести проблему за рамки эмпирического опыта, поставив неразличимость в связь с содержанием тех допущений, из которых исходят при построении абстрактных (идеальных) объектов теории и её формального языка.

Этим, конечно, не исключается общая идея относительности тождества неразличимых: объекты, неразличимые по признакам, формализуемым в одном языке, в принципе могут быть различимы в другом. Но в интервале абстракций теории это позволяет толковать неразличимость как эквивалентность (или конгруентность), извлекая из такого толкования все выгоды абстрактных рассмотрений, связанных с отношениями типа равенства. И так поступают не только в логике или математике, но и в науках о природе, в частности в квантовой физике, где принцип тождественности неразличимых частиц имеет такой же постулативный характер, как и в логике. При этом в мире объектов сравнения подразумевается тривиальная бинарная метрика: неразличимые объекты здесь бесконечно близки друг другу, а различимые бесконечно далеки друг от друга. Неразличимых, но относительно близких объектов, близких в большей или меньшей степени, для этой абстракции неразличимости нет. Таким образом, топология мира, как она выглядит изнутри языка классической логики,— это топология жестких границ. Такая дискретная топология естественно индуцируется бинарной метрикой и вполне соответствует дискретному характеру языка описания ^[324].

Между тем, при более тонких и более точных сравнениях жесткие границы, создаваемые языковой и логической абстракцией, нередко “расплываются” в континуум промежуточных ступеней. Эту нередкую для познания непрерывность в переходах значений реальных признаков “улавливают” тем, что на множестве значений признаков вводят метрику вещественных чисел, а условия неразличимости задают какой-либо функцией расстояния, согласованной с этой метрикой.

Характерным примером такой функции является евклидово расстояние между объектами х и у в n -мерном метрическом пространстве признаков, где каждый объект представлен не “сам по себе”, а некоторым вектором его измеримых признаков. Абстракция неразличимости возникает при этом всегда, когда совокупная близость соответственных признаков достигает определённой критической области, постулируемой или зависящей, скажем, от погрешности измерения, пороговой величины восприятия, разрешающей способности прибора и пр. Ведь и в случае приборных измерений неразличимость близких, но объективно разных значений никогда не исчезает совсем, а может лишь уменьшаться с совершенствованием измерительной техники. Теоретический предел для такого совершенствования, указанный соотношением неопределенностей, на практике выглядит как почти недостижимая точность.

Для интервальной точки зрения этот факт гносеологически весьма существен. Он говорит нам не только о неточности эмпирического опыта, но, возможно, и о “всепроникающей неточности реального мира”^[325]. Кроме того, он предупреждает о том, что, принимая в расчёт технику реальных наблюдений, необходимо позаботиться о логическом анализе отношений неразличимости, свойственных эмпирическому опыту, поскольку эти отношения составляют основу наших практических заключений о положении дел в мире, и уже поэтому они могут быть интересны для логики, в особенности там, где логика становится прикладной или обнаруживает свою связь с теорией познания.

В чпстности, для логики существенна возможность определять неразличимости через функции расстояний, что согласуется с практикой приближенных методов вычислений и измерений, когда неразличимость истинного и приближенного значений задаётся интервалом неопределенности. Можно сказать, что все значения из этого интервала являются e -копиями друг друга. А это означает, что такой интервал можно рассматривать как адекватное выражение идеи тождества e -неразличимых, одновременно связывая с этим понятие о соответствующей абстракции e -неразличимости.

Правда, классическая логика игнорирует процедуры отождествлений, которые основаны па абстракции e-неразличимости. Точнее, она ограничивается только тем ее частным случаем, когда e = 0. Вот почему в логике отношение тождества (равенства) считают, как правило, не производным в актах познания, а изначальным отношением на универсуме возможной модели теории, выражающим, так сказать, онтологическую индивидуацию его элементов. При этом наша субъективная способность к различению элементов в универсуме, – как чисто гносеологический факт, – для логики значения не имеет.

7.3. Абстракция неразличимости и метрическое равенство. Информация о величинах – измеримых свойствах реальных объектов в науках о природе играет первостепенную роль. При этом акт измерения сочетает и чувственный, и рациональный аспекты познания, поскольку он основан, во-первых, на нашей естественной способности сравнивать наблюдаемые объекты (их признаки) и различать или же не различать их, и, во-вторых, на теоретико-числовых понятиях, необходимых для оценки измеряемых величин. Как это отметил ещё Кассирер, “самое простое измерение опирается на известные теоретические предпосылки, на определённые “принципы”, “гипотезы”, “аксиомы”, которые вовсе не берутся из мира ощущений, но привносятся в него в качестве постулатов мышления”^[326].

Наша субъективная способность к наглядному сравнению законами Вебера – Фехнера поставлена в определённую гносеологическую связь с объективными различиями сравниваемых объектов: она обладает конечной разрешающей возможностью и пропорциональна логарифму интенсивности раздражителей зрительных органов чувств. Что же касается приборов (с помощью которых мы стремимся усилить эту нашу способность), то для их возможностей сравнения и различения или неразличения объектов выявлен некий “онтологический минимум”, обусловленный квантовыми свойствами материи. И в одном, и в другом случае содержание информации, сообщаемой при отображении измеряемой величины, зависит от пороговых характеристик (разрешающей способности) следящей системы, от необходимо конечной (а не бесконечной) точности измерения.

Идея измерения с помощью шкал, которыми наделяют измерительные устройства, технически проста. Но в ее основе лежит теория, то есть ряд неочевидных предпосылок.

Согласно теории, приборную шкалу определяют как гомоморфизм системы возможных значений величины в систему символов отсчета. Это означает, что разнообразие множества возможных значений величины предполагается по крайней мере не меньшим, чем разнообразие множества значений отсчета или множества отметок шкалы. Такое предположение оправдывается практикой измерений. Собственно, оно индуцировано этой практикой. На деле, однако, идут значительно дальше, предполагая множество возможных значений величины непрерывным (континуумом) в интервале неопределённости. Это предположение обусловлено уже не практикой, а только теорией, объекты которой – идеальные прямые, идеальные окружности, идеальное движение и пр. С точки зрения естествоиспытателя или инженера наиболее плодотворной в этих идеализациях является как раз обобщение практики – возможность аналитического или геометрического подход к исследованию и описанию взаимных связей явлений, реализуемая заменой приближённых представлений, полученных путем наблюдения, на точные математические абстракции. Поэтому реальная шкала прибора мыслится как упрощенный образ идеальной (теоретической) измерительной шкалы.

На практике количественные характеристики величин получают измерением по упрощенным реальным шкала – методом, который сопряжен с инструментальной погрешностью и с некоторыми другими ошибками измерения. Хотя эти ошибки можно, вообще говоря, уменьшать математической обработкой результатов измерений, тем не менее сам метод всегда остается в границах точности измерительной техники, пусть даже и очень большой. Инструментальную погрешность обычно называют предельной, поскольку модуль разности между истинным и любым приближенным значением величины, получаемым при измерении данным прибором, не превосходит этой погрешности. Значит, вместе с выбором техники измерения (или обработки) дается и априорная граница его точности, а косвенно – и граница точности метода измерения (или обработки), основанного н этой технике.

Понятие об измерении с погрешностью, о приближенном значении величины имеет смысл лишь в связи с понятием об истинном её значении, а вопрос о соотношении этих понятий – во многих аспектах философский вопрос.

Приближенное значение величины – это её гносеологическая неоднозначная числовая характеристика по данным измерений или по данным вычислений. Истинное значение, напротив,— объективное количество величины, её онтологическая числовая характеристика, присущая величине самой по себе, независимо от каких-либо измерений. Истинное значение, как полагают, единственно. Оно выражается только одним числом – рациональным, иррациональным или комплексным. При этом обычно отмечают, что истинные значения эмпирических величин, как правило, нам неизвестны.^. Имея всегда лишь некоторое конечное их приближение, мы можем оценить границу допущенной абсолютной погрешности, хотя, строго говоря, сама эта погрешность остается для нас столь же неизвестной, как и истинные значения эмпирических величин.

Говоря о возможном совпадении приближенного и истинного значений, имеют в виду их арифметическое равенство. Но обычная инженерная практика замены истинного значения приближенным основывается, конечно, не на этом равенстве. Самый факт погрешности, отличной от нуля, не может препятствовать отождествлению (взаимозаменимости, подстановочности) истинного и приближённого значений, поскольку внутри интервала неопределенности информация о том, какое значение истинно, а какое приближенно, является посторонней. Это и позволяет абстрагироваться от информации такого рода, рассматривая просто пары б а, b с, наделенные точностью e.

Следовательно, – в качестве условия на отождествление – интервал неопределённости выражает меру неразличимости допустимых значений величины. Поэтому его естественно понимать как интервал e -неразличимости и, опираясь на идею замены равного равным, столь же естественно ввести понятие о метрическом равенстве следующим определением:

aR _e b “ | a – b | Ј e, (1)

где а и b – числовые объекты, или же определением:

aR _e b “ | ¦(a) – ¦(b) | Ј e, (2)

где a и b – это уже любые объекты, в частности приближенные формулы, свойства которых допускают числовую оценку ¦ (х).

Оба определения оправданы, по крайней мере в том смысле, в каком тождество неразличимых определяется ими как метрическое равенство.

Метрическое равенство сохраняет не все свойства арифметического. Зато оно богаче арифметического числом реализаций: решениями | а — b | Ј e служат все элементы множества конечных разностей, не превосходящих e по абсолютной величине. При e=0 метрическое равенство переходит в арифметическое. Иначе говоря, эти определения являются естественным обобщением этого частного случая.

Известно, что неразличимость можно получить, объединяя эквивалентности. Так сказать, это логика их генетической связи. Но гносеология этой связи иная. Тождество не