Глава 4. Абстракция индивидуации

Это потому, что никто не “один”,

но “один из”. Мы так одинаковы...

(Евгений Замятин, роман “Мы”)

Tu wchodzi w grк sprawa indywidualnoњci

(Stanislaw Lem, “Solaris”)

Потребность в понятии “абстракция индивидуации” возникла у меня из соображений симметрии при изучении проблемы тождества^[134]. Но его также можно рассматривать как уточнение классических представлений о принципах индивидуации – одной из древнейших философских проблем об основах (причинах) неповторимости и уникальности любой природной субстанции.

4.1. Многое и одно. С первых же шагов опыт приучает нас к множественности явлений. И если говорить о мире явлений в целом, то даже приближённую величину этой множественности назвать невозможно, хотя, конечно, можно назвать величину множественности некоторых его фрагментов. Например, можно сказать, сколько букв русского алфавита на этой странице, сколько судоходных рек на земном шаре, сколько молекул в данном объеме любого газа и т. д., и т. п.

Поражая воображение, множественность явлений исстари побуждала разум к поискам объясняющих её причин. И на сегодняшний день накопилось достаточно гипотез такого рода, хотя история их никем, кажется, ещё не написана.

Уже милетских философов, которые принимали множественность явлений как факт, интересовал не столько сам этот факт, сколько его причины. Анаксимандр выводил множественность из вечного движения противоположностей, а Анаксимен – просто из движения, которое он тоже считал вечным.

В большинстве древних философских гипотез множественность явлений полагалась как “внешнее” и объяснялась каким-либо “внутренним” началом, называемым сущностью. При этом преобладали две установки. Согласно одной, как в концепции упанишад, у буддийских мадхъямиков или у элеатов, множественность объявлялась чем-то призрачным и иллюзорным чем-то вроде сна наяву, вера в реальность которой подобна смерти^[135]. Согласно другой, как в философии милетцев и Гераклита, множественность считалась несомненной и объективной реальностью.

Выбор той или иной установки, по крайней мере для античных философов, существенно определялся гипотезами о строении материи. Пифагорейцам для этого служила абстракция пустоты. Элеаты отрицали пустоту, поэтому для них только сплошность и однородность материи были подлинной реальностью, а её множественность и дискретность объявлялись видимостью: бытие едино (непрерывно) в основе, но множественно согласно чувственному восприятию.

Наконец, гипотеза Левкиппа – Демокрита – Эпикура объясняла все качественные изменения и, следовательно, все видимое разнообразие явлений очертаниями, движением и положением атомов (например характером их взаимной связи). Но если множественность наблюдаемых явлений сравнительно легко объяснялась гипотезой об атомах, то множественность самих атомов, ненаблюдаемых и неразличимых в силу их бесконечной малости, этой гипотезой уже, конечно, не объяснялась. Тем не менее, принцип атомизма, в отличие от других объяснений множественности, имел, как известно, собственно научную ценность. Он стал истоком долгого и трудного пути науки к познанию квантовых свойств материи. Философская идея об элементарных частицах материи, из движения и взаимодействия которых рождается разнообразие преходящих явлений природы, эволюционировала в конечном счете в математическую теорию квантовомеханических законов, лишний раз подтвердив, как часто строгие научные теории возникают из “смутно очерченных философских идей”.

4.2. Проблема индивидуации. Однако я не вхожу в подробности этой темы. Меня интересует здесь другой вопрос, который зародился, по-видимому, вместе с проблемой множественности и в какой-то мере в зависимости от неё. Вопрос этот полезно разделить на два подвопроса: 1) имеются ли в данной множественности объектов и явлений универсума хотя бы два совершенно одинаковых (тождественных в логическом смысле), или же все объекты и явления в ней объективно различны?; и 2) если речь идёт не менее чем о двух объектах любой данной множественности, то всегда ли можно указать на их качественное различие?

Оба эти подвопроса и составляют проблему индивидуации. А то, что эта проблема не совпадает с проблемой множественности, следует по крайней мере из принятой практики употребления понятий. Так, мы говорим, что все молекулы одного вещества одинаковы, и тем не менее называем число Авогадро, указывающее величину множественности молекул в моле любого газа. И хотя индивидуальность и множественность здесь не противопоставляются – оттого и множественность, что много индивидуальностей, – всё же очевидно, что в определённом смысле эти проблемы противоположны: множественность опирается на принципы подобия и воспроизводимости, индивидуация, напротив, – на принципы различия и неповторимости.

В известном смысле множественность не исключает тождественности, но индивидуация и тождественность, вообще говоря, не совпадают. К примеру, в физике микрочастиц говорят о системах из п тождественных частиц, называя тождественными частицы с одинаковыми признаками. Однако эти частицы настолько утратили свою индивидуальность, что не различаются (в отличии от героев романа Замятина) даже по номерам ^[136]. Поэтому принцип тождества в квантовой механике должен отличаться от лейбницевского принципа тождества неразличимых, которым он хотел обосновать индивидуацию^[137]: тождество неразличимых исключает множественность неразличимых, а в множестве тождественных исчезает возможность индивидуации. Невозможность индивидуации (нумерической, равно как и всякой другой), с которой столкнулась квантовая механика частиц, замечательна уже тем, что речь в ней идёт не об абстрактных, а о вполне материальных объектах.

4.3. Немного истории ^[138]. История античной и новой философии дает первые полезные примеры для постановки проблемы индивидуации. Но я лишь вкратце затрону её исторический аспект – не для глубокого анализа, а только для наметки логической связи идей, заключенных в проблеме индивидуации per se, что в какой-то мере объяснит её преемственность в рамках нынешней науки, позволит взглянуть на эту “проблему схоластики” как на современную проблему.

Индивидуация как принцип была введена стоиками по философским соображениям, близким к номинализму ^[139]. Затем этот принцип в разных вариантах неизменно повторялся вплоть до Лейбница. Общепринятой формулировки этого принципа в источниках прошлого нет. Есть сравнения, наводящие (и почти одни и те же) примеры, толкования, которые едва ли могут удовлетворить претензии на строгое определение. Складывается впечатление, что идея индивидуации – это фундаментальная идея, которую надо не определять, а разъяснять, исходя из наших интуитивных представлений ^[140].

Возможные гипотезы, связанные с ответами на поставленные выше вопросы об индивидуации, ещё в эпоху средневековья (в средневековой догматике) получили название “принципа индивидуации” по одноимённому сочинению Фомы Аквинского (De principio individuationis). Но Аристотель, по-видимому, первый придал проблеме индивидуации собственно теоретическую постановку ^[141]. Для её решения в качестве индивидуализирующего начала он ввёл особую субстанцию, названную им материей, и свёл общую проблему к ответу на вопрос: каким образом неопределённая материя становится единичной вещью (индивидом)? Так как субстанциальность и единичность для Аристотеля совпадали, ответ на этот вопрос он предлагал в рамках низшего вида (infima species) только для материальных сущностей, отделяя чистый акт их существования (subsistentia) от их существования в определённой форме (substantia). И хотя, по Аристотелю, “сущность – то, чем материя становится” (а это “образ или форма”), всё же основание для индивидуации он видел не в форме, а в материи, ибо вид (форма), в отличие от материи, неделим и, следовательно, не способен к разнообразию. Форма создаёт различия видов, материя – различия индивидов. У индивидов (индивидуального) особый статус: индивидуальное, как таковое, неопределимо и даже непознаваемо (мы можем только его сохранить!) и его нельзя приписать (как предикат) ничему (никому) другому^[142]. Между тем, форма, как сущность, как универсалия, допускает явное определение и принадлежит многим. Форма – это итог развития материи, предусмотренная высшим разумом для классификации вещей. Вполне возможны две вещи одной формы. Это означает, что они принадлежат одному виду. В этом случае мы вправе сказать: “вещь х такая же (idem species), что и вещь у ”. Но если речь идёт только о совпадении (тождестве) формы, то мы не вправе утверждать, что “вещь х – это та же самая вещь, что и вещь у ”. Понятие “тот же самый” равносильно понятию “единственный по числу” (idem numero), а такая единственность обусловлена только “мерой материи”, свойственной каждой из телесных вещей. И Аристотель (правда, не всегда последовательно) склонялся к тому, что своей индивидуальностью все вещи обязаны материи, которая в каждой из них неповторима ^[143]. Отсюда нетрудно заключить, что проблема индивидуации решалась им отрицательно. И поскольку индивидуальное неопределимо, индивидуацию необходимо принимать как эмпирический факт и не распространять на абстрактные (идеальные) объекты.

В поздней античности и в схоластике аристотелевский концептуализм обрастает элементами платонизма. К индивидам теперь относят уже не только материальные объекты, но и идеальные, например такие, как душа. И всё же проблема индивидуации ещё долго сохраняет контуры, данные ей Аристотелем, благодаря усилиям Фомы Аквинского, возродившего аристотелизм внутри христианской догматики. Правда, для идеальных объектов, являющихся чистыми формами без материи, взгляд на индивидуацию дополняется понятием о “субстанциальных формах”, которое затем распространяется и на материальный мир, образуя своего рода триаду: вещь в целом (quod est); её субстанциальная форма (quo est); и акт творения, соединяющий то и другое. При этом материя перестаёт быть единственным началом индивидуации, разделяя эту роль с индивидуальной формой (Aquinas Thomas, Contra Gentiles, II, 50), так что всё индивидуальное предстаёт как сочетание “этой материи” и “этой формы”. И Аквинский делает важное утверждение о роли проблемы индивидуации для науки и для теории познания: познаваемо лишь прошедшее индивидуацию ^[144].

Позднее, у Дунса Скота (следовавшего августиновской традиции) индивиды и их субстанциальные формы уже вовсе неразличимы. И хотя материя ещё признаётся субъектом возникновения вещи, сама по себе она познаваема только по аналогии с формой (Duns Scotus, Opus Oxoniense, Commentarium..., XII).

Последнюю точку в схоластической трактовке проблемы индивидуации поставил Уильям Оккам. Он возвращается к аристотелевским истокам. Факт существования вещи – вот для него основа индивидуации. Индивидуально всё, что существует и именно потому, что это есть; а всё есть либо материя, либо форма, либо сочетание того и другого. Индивидуальную и универсальную природу вещи нельзя разделить. И хотя индивидуальное (особенное) не может быть универсалией, единичное (индивидуальное) познаётся только через общее (Ockham William, Quodlibeta). Нет надобности пояснять, что этот тезис Оккама столь же важен для теории познания, как и предыдущий тезис Фомы Аквинского. Позднее, касаясь того же вопроса об отношениях индивидуального (единичного) и общего, Николай Кузанский заметит, что, хотя знание единичного и знание общего всегда неполно и неточно, ошибка в знании единичного (индивидуального) неизменно больше, чем ошибка в знании общего.

Завершением схоластики был кризис её метафизики. Но хотя новая философия тяготела к научному обсуждению проблем, споры по проблеме индивидуации всё ещё продолжались в рамках схоластической антитезы “форма – материя”. Так, Лейбниц, в частности замечает, что решая проблему индивидуации, он намерен “в известном смысле восстановить права древней философии и вернуть назад почти изгнанные субстанциальные формы”^[145]. Правда, теперь проблема индивидуации ставилась им и другими в иной концептуальной атмосфере и в условиях развитого естествознания и логики.

По примеру Аристотеля, Лейбниц связывал проблему индивидуации с понятием об индивидуальной субстанции, которая по природе своей такова, что любое суждение о ней должно быть только аналитическим, а для этого необходимо обладать понятием индивидуальной субстанции во всей её полноте. Иначе говоря, понятие индивида должно включать в своё содержание все предикаты этого индивида. В связи с этим Лейбниц говорит о “безграничной тонкости вещей, заключающей в себе всегда и повсюду актуальную бесконечность”^[146]. И хотя Лейбниц принимает нечто вроде принципа “бесконечной детализации” по отношению к вещам, он отказывается от этого принципа по отношению к внутренней природе индивидуальных субстанций: индивидуальная субстанция структурно однородна, она не состоит из частей, хотя и может подвергаться превращениям. Каждая индивидуальная субстанция мыслится Лейбницем как монада, как замкнутый мир, в который нельзя проникнуть, но которая заключает в себе всё – это “живое зеркало вселенной”. Поэтому никакие внешние отношения монад не могут повлиять на их внутренние свойства, по которым они “отделены” друг от друга. Универсум монад образует нечто похожее на хаусдорфово пространство, в котором понятие тождества (декларируемое принципом тождества неразличимых) относится только к внутренней топологии объекта и не касается топологии положения.

Лагерь сторонников противоположных идей составляли, как известно, последователи Исаака Ньютона, который считал, что скрытым свойствам не место в натуральной философии. Согласно Локку, одному из активных сторонников этой философии, тождество и различие вещей сводится к их положению в пространстве и во времени, а принцип индивидуации “есть само существование, определяющее предмету любого вида его время и место”^[147]. Следовательно, только указанием “траектории”^[148], можно эффективно обеспечить однозначность описания объекта, в то время как индивидуация по признакам либо слишком трудна, либо не даёт гарантии от воспроизведения подобных путём повторения свойств и порождающих их обстоятельств^[149]. По этим же соображениям, по-видимому, и Кларк, в переписке с Лейбницем, отвергал его принцип тождества неразличимых ^[150].

Возражения Лейбница и его сторонников, в свою очередь, сводились к тому, что признаковая индивидуация вполне правомерна и даже единственно возможна, поскольку пространство и время – это не внешние и априорные условия существования вещей, а только их модусы, которые сами определяются через индивидуальные вещи. Поэтому было бы порочным кругом ссылаться на пространство и время как на основу индивидуации.

Эти тезисы, каждый по своему, уязвимы для критики. К примеру, первый, – в силу тансцендентного (основанного на абстракции актуальной бесконечности) характера индивидуации, не проверяемой в конечном опыте, в котором анализ признаков вообще не может быть доведён до конца, так что de facto не исключается возможность двух неразличимо сходных.; а второй – в силу однородности пространства и неразличимости точек континуума.

Вообще же обе стороны вряд ли задумывались над тем, что признание существования индивидов правомерно поставить в зависимость от способов доказательства этого существования или, игнорируя эти способы, утверждать существование как следствие какой-либо априорной гипотезы, например, как следствие простой непротиворечивости понятия. Не случайно Лейбниц возвращается к аристотелевской метафизике, выдвигая по существу агностический аргумент: “мы не можем... найти способ точного определения индивидуальности... индивидуальность заключает в себе бесконечность, и только тот, кто в состоянии охватить её, может обладать знанием принципа индивидуации”^[151]. При этом он толкует индивидуацию как предопределение, сочетая этот теологический аргумент с принципами тождества неразличимых и достаточного основания.

4.4. Индивидуация как абстракция. Итак, следуя схоластам, можно сказать, что проблема индивидуации – это проблема индивидуальной природы вещей. На вопрос: “Что такое индивидуальная природа?” – можно ответить, что она определяется индивидуальными свойствами вещи. Естественный новый вопрос: “Что такое индивидуальные свойства вещи?” – со времён той же схоластической философии имеет общеизвестный ответ: индивидуальные свойства – это те, что отличают данную вещь от всякой другой, выражая “собственную сущность” этой вещи. Все последующие разъяснения сводятся тогда к вопросу о том, какие именно свойства необходимы и достаточны для индивидуации вещей.

Когда мы говорим, что существует объект с требуемыми свойствами, мы, конечно, не хотим сказать, что существует только один объект, обладающий этими свойствами^[152]. Поэтому доказательство единственности следует поставить в связь с реальной возможностью (логики и практики) различений, с их осуществимой “отделённостью” друг от друга. Именно в такой связи индивидуация и предстает как абстракция, хотя в первом приближении она выглядит как очевидный эмпирический факт. И здесь мы вновь возвращаемся к вопросу о “началах индивидуации”, об условиях, при которых индивидуация вообще возможна.

Можно предположить, что интерес к этому вопросу средневековой философии (реализма, концептуализма и номинализма) в немалой степени определялся стремлением осмыслить процесс познания. О новой философии это можно сказать с ещё большей уверенностью. И тем не менее, гносеологический аспект проблемы индивидуации, все они, как правило, обходили. Их подходы к решению этой проблемы объединяло одно – вера в онтологическую основу индивидуации: индивидуацию утверждали как следствие каких-либо априорных космологических гипотез о “природе универсума”.

Следовательно, все высказанные выше классические гипотезы об основах индивидуации относятся к онтологии, то есть говорят не о том, как индивидуализируются те или иные объекты в нашем опыте, а о том, как они индивидуализированы “сами по себе”, от природы, in re, поскольку это вообще имеет место. Такую индивидуацию естественно назвать онтологической индивидуацией: одну – координатной, другую – признаковой (или дескриптивной) ^[153].

Между тем, то, что определено (индивидуализировано) “в себе”, не обязательно определено как индивидуальное и для познания. Последнее возможно лишь при условии, что нам известна энтропия индивидуального объекта ^[154], а именно, – то минимальное количество информации, которое позволяет утверждать, что мы действительно имеем дело с индивидуальным объектом. Поэтому с гносеологической точки зрения вопрос об индивидуации естественно связать с тем или иным информационным процессом, обеспечивающим индивидуацию, с тем или иным представлением объектов универсума “для нас”^[155]. Такая индивидуация “для нас” – я назвал её гносеологической индивидуацией – должна выражаться в принципиальной возможности “вычислить” (в широком значении этого слова) или однозначно описать объект. И это весьма существенно, поскольку в гносеологической картине мира индивиды появляются, как правило, в связи с каким-либо их описанием. Более того, о некоторых (собственно научных) объектах без оговорок можно сказать, что они существуют только как индивидные концепты согласно способам (методам) их описаний. Таковы, в частности, абстрактные объекты научных теорий.

Самой простой и самой слабой характеристикой индивида является его имя. В ранние эпохи культурного развития именам придавался, правда, особый смысл: думали, что имя объекта исчерпывающим образом выражает его природу и модус его индивидуального существования. Позднее – под влиянием философии номинализма – наименование всё чаще стали воспринимать только как формальный, условный способ выделения объектов, который удобен для их классификации, но сам по себе совершенно непригоден для содержательного суждения об индивидах^[156]. Однако ещё позднее нашли, что если способ именования связать с каким-либо регулярным порождающим процессом, то из сравнения имён объектов можно извлекать определённую индивидуализирующую информацию. Примером может служить нумерация объектов (отвергнутая Лейбницем как способ индивидуации). Правда, “индивидуация номером” неэффективна, если она не основана на некотором законе и не позволяет порождать объект. В этом смысле процесс кодирования (например, формул по Гёделю) предполагает, что он идёт по некоторому правилу, сохраняющему индивидуальные свойства объектов (известные до) в их кодовых номерах.

Сколь общи и убедительны способы описаний, это, разумеется, особый вопрос.. К примеру, если мы согласимся с Лейбницем в том, что любой индивид
“в себе” бесконечен в своих качествах^[157], а индивидуация требует анализа всех его качеств, то какая-либо эффективная процедура индивидуации будет невозможной. Действительно, пусть F – некоторое свойство (качество), а х – произвольный объект. Можно высказать в точности два утверждения о принадлежности F объекту х. Если таких (различных) свойств два, то утверждений будет уже четыре. Если их n, то утверждений будет 2 ⁿ. Иными словами, нам потребуется континуум утверждений для проверки принадлежности х счётно-бесконечного числа свойств (качеств). И ведь речь тут идёт об индивидуации только одного объекта.

Однако для индивидуации как абстракции достаточно, вообще говоря, минимальной индивидуализирующей информации. С этой точки зрения самой естественной формой индивидуации являются, по-видимому, индивидуализирующие описания, в частности, определения и дескрипции. В отличие от простых наименований, они дают информацию о “природе” индивида непосредственно, представляя в определённом смысле его “портрет”. Ссылка на существование индивида, не подкреплённая эффективным способом его непосредственного узнавания, имеет, конечно, иной философский смысл.

Вообще, в связи с проблемой гносеологической индивидуации существенно “подвергнуть сравнительному изучению различные способы задания объектов”^[158]. Вопрос о таких способах и, следовательно, о той или иной абстракции индивидуации является принципиальным вопросом. Например, в арифметике индивидуация натуральных чисел задаётся по существу всеми аксиомами Пеано (за исключением аксиомы полной индукции, которая обеспечивает бесконечность множества уже введённых индивидов), а отношение тождества, которое используется в аксиомах для однозначного определения натурального ряда (как исходного множества) до введения основных операций на его индивидах, сводится к самотождественности, то есть является тождеством индивида только с самим собой^[159]. По существу потребность в более широком понятии тождества (через абстракцию) возникает лишь при введении функций на универсуме моделей Пеано.

Разумеется, для эффективных форм индивидуации важна возможность конечной определимости индивидуальных объектов. При этом можно либо усиливать претензии к эффективности, требуя, чтобы индивидуация определялась каким-либо обще-рекурсивным или примитивно-рекурсивным процессом, либо, напротив, ослаблять эти претензии, допуская своего рода интуитивную определимость, основанную на нашей способности к селективному восприятию и узнаванию объектов (нечто похожее на notitia intuitiva Оккама). Но в современной математике немало и таких ситуаций, когда индивидуация невозможна без введения трансфинитных (неэффективных) понятий. К примеру, индивидуация математических объектов, неявно подразумеваемая аксиомой выбора, по своей трансцендентной сущности едва ли уступает средневековым космологическим гипотезам, недвусмысленно подтверждая уже указанный тезис Лейбница, что “индивидуация заключает в себе бесконечность”.

Сама эта лейбницевская идея выражала, правда, только часть истины, если учитывать порядки бесконечности. По словам Лузина, определение (индивидуация) вещественных чисел бесконечными последовательностями рациональных является всего лишь скромной возможностью индивидуализировать счётную часть элементов несчётного континуума. А для случая проективных множеств (полученных из измеримых борелевских) ситуация, по свидетельству того же Лузина, такова, что вообще “нельзя ни назвать индивидуальную точку такого множества, ни узнать “существуют” ли точки в таком множестве” ^[160].

4.5. Индивидуация и универсум. В научной картине мы, безусловно, субъективируем внешний нам (объективный) мир. Субъективируем не в том смысле, что, высказываясь о положении дел в мире, мы подчиняемся при этом только “внутреннему чувству очевидности”, принимая образы научной картины как факты наших личных переживаний, а в том, что, познавая, мы необходимо следуем методу абстракции – мы релятивизируем наши образы, привязываем их к точке наблюдения, к системе отсчета. В этом метод абстракции совпадает с методом центральной проекции. С переменой центра проекции меняется и картина. От оригинала в ней сохраняются неизменными только инварианты – те немногие свойства, которые не затрагиваются системой проективных преобразований. Таков же и гносеологический универсум любой научной теории. Он “как один и тот же город, если смотреть на него с разных сторон, кажется совершенно иным, и как бы перспективно умноженным”^[161]. Разница лишь в том, что, хотя идея и цель отображения здесь как будто известны, само оно, вообще говоря, неопределенно, поскольку неопределенно множество его онтологических прообразов. Поэтому всегда и необходимо мы уточняем отображение тем, что принимаем в теории какие-либо гипотезы об онтологии, достаточно характеризующие ее для целей отображения. Общая картина мира – это “мозаика”, составленная из гносеологических универсумов, созданных нашей абстракцией. Каждый образ этой картины привязан к определённой точке зрения, к условиям наблюдения, к системам отсчёта, – к определённой интервальной ситуации. Соответственно и вопрос о гносеологическом смысле индивидуации, о том, как индивидуализируются объекты в нашем опыте, об объективном “в рамках опыта” – это вопрос, решение которого связано с преобразованиями онтологического универсума в универсум гносеологический – в этот “второй круг”, являющий нам “как бы наши очертанья” ^[162]. И эта философская суть дела не изменяется, конечно, от того, что гипотезы, связанные с преобразованиями подобного рода маскируются порой в математически точных абстракциях.

4.6. Индивидуация и множество. Эту тему возродили для современной философии науки Б. Больцано и Г. Кантор в связи с учением о множествах. К сожалению, её значимость для канторовской теории множеств в результате долгих “критических сражений” теперь уже почти забыта, и в литературе утвердилась мысль, будто канторовское понятие множества “не связывается с фиксацией каких-либо определённых способов индивидуального описания тех объектов, которые охватываются этим понятием” ^[163].

Объясняют это обстоятельство системой представлений, порождаемых абстракцией актуальной бесконечности. А это означает, что онтологическую индивидуацию в расчёт не принимают, а мыслят индивидуацию только как понятие гносеологическое, связанное с каким-либо эффективным заданием (указанием) элементов множества, о чём уже говорилось выше.

Но объяснить такую позицию можно и по-другому, имея в виду, что одним из основных принципов канторовской теории является принцип (аксиома) свёртывания, согласно которому, вообще говоря, для любого свойства можно рассматривать множество всех тех объектов (предметов), которые обладают этим свойством. Поэтому теорию множеств часто определяют как науку о произвольных множествах (классах или совокупностях) произвольных объектов.

Замечу, однако, что такое толкование взаимного отношения свойств и множеств характерно скорее для традиционной логики, в которой (по инициативе логиков Пор-Рояля) постепенно утверждалась объёмная интерпретация понятий. При этом собственное содержание множеств (классов) рассматривалось весьма поверхностно, сами множества однозначно не определялись и достаточно было только суждения о принадлежности того или иного объекта к “известному” множеству, о котором сохранялось весьма “размытое” представление.

Между тем, канторовская теория множеств родилась на стыке логики и математики, и предметом изучения в ней стали множества математических объектов, а вовсе не объектов произвольной природы. Для характеристики математических объектов индивидуация необходима и Кантор, конечно, это хорошо понимал, как понимал он и роль философии в решении проблемы индивидуации. “Я считаю, – писал он, – что метафизика и математика по праву должны находится во взаимосвязи и что в периоды их решающих успехов они находятся в братском единении” ^[164].

Известно, что со времён Кантора, Дедекинда и Вейерштрасса теория множеств была положена в основу не только математического анализа, но и многих математических теорий, называемых теперь классическими (в том смысле, который это слово получило в исследованиях по основаниям математики), в частности, – топологии, различных разделов абстрактной алгебры, теории функций, функционального анализа, и пр. В такой ситуации естественно должен был возникнуть вопрос об уточнении понятия “множество”. Думаю, не ошибусь, если скажу, что, по мысли Кантора, отнюдь не любая совокупность объектов могла называться множеством, а только такая, объекты которой можно было считать индивидуально определёнными хотя бы в онтологическом смысле (в смысле абстракции онтологической индивидуации), то есть “внутренне определенными” независимо от воли исследователя и даже от тех затемняющих обстоятельств, которые могут проистекать от “способов данности” нам этих объектов.

К примеру, у нас, конечно, найдётся достаточно оснований совокупность электронов рассматривать как “совокупность реальных объектов”, а не фикций. Но эта совокупность вряд ли будет множеством по Кантору, так как здесь не обеспечивается (ни онтологическая, ни гносеологическая) индивидуация не только в силу принципиальных границ возможности наблюдения, но и в силу принципиального характера (природы) самих элементов.

Условие индивидуации элементов в качестве условия “быть множеством” является, по-видимому, первым из ряда всех последовавших затем (в эпоху аксиоматического оформления теории) условий, направленных на уточнение идеи множества. В нём неявно уже содержалось требование пересмотра интуитивного принципа свёртывания. Однако никакого конструктивного решения при этом не предлагалось. Бесконечные множества рассматривались в канторовской теории множеств посредством умозаключений такой же логической природы, как и умозаключения, применяемые при рассмотрении конечных множеств.

Индивидуация в форме, принятой Кантором, была гипотезой об онтологии. Именно гипотезой, поскольку, она была основана на очень сильных абстракциях, на представлении об элементах множеств как объектах “самих по себе”, то есть сводилась к “внутреннему свойству” множеств, независимо от тех предположений об отождествлении и различении, которыми руководствуются при построении этих множеств и их элементов. Выше я назвал такую индивидуацию онтологической индивидуацией.

И действительно, подобно Лейбницу и средневековым схоластам, Кантор обходит вопрос о гносеологическом смысле индивидуации. Он настаивает на необходимости индивидуации, но сознательно абстрагируется от эмпирической (в широком смысле) данности объектов как индивидов: сущность математики в её свободе, поэтому элементы множеств могут быть индивидуализированы в силу чисто логических оснований. Такими основаниями он действительно считал принцип исключенного третьего и абстракцию актуальной бесконечности.

В этом случае вопрос о гносеологическом смысле индивидуации не является, конечно, существенным: он игнорируется уже на первых шагах оформления классических абстракций, поскольку признание только гносеологической индивидуации существенно ограничило бы выразительные возможности теории. Но онтологическая индивидуация для теоретико-множественной математики остаётся важным философским принципом.

Напротив, в теориях, которые строятся на антропологических принципах (то есть идут от субъекта и его деятельности), например, в интуиционистской и конструктивной математике с их более слабыми абстракциями, в прикладной математике, в эмпирическом естествознании, где свобода допущений, как правило, ограничена условиями фактического построения объектов, роль индивидуации в гносеологическом смысле (я назвал её выше гносеологической индивидуацией) значительно возрастает: “Когда применяют выражение “совокупность реальных объектов”, имеют в виду, что объекты, из которых состоит совокупность, мысленно выделены из окружающей среды посредством непосредственного указания или посредством отчётливой характеризации их типа, что объекты, входящие в совокупность, существуют одновременно и устойчиво в течение некоторого промежутка времени и что они отчётливо отличимы друг от друга”^[165]. И поскольку в этом случае речь идёт только о гносеологической индивидуации, появляется соблазн выставить тезис, контрарно противоположный канторовскому: “...разнообразие множества не является его внутренним свойством... для точного определения разнообразия нужно указать наблюдателя и его способность различения” ^[166].

4.7. Индивидуация и логика. Повторю ещё раз, онтологический принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализировать предметы универсума или как они индивидуализированы “сами по себе”, поскольку это уже имеет место; он постулирует лишь далеко идущую абстрактную возможность индивидуации. В этом смысле принцип индивидуации отличается тем же характером, что и так называемые “чистые” постулаты существования. В самом деле, если индивидуация имеет место независимо от того, каким образом она устанавливается в опыте, пусть даже идеализированном, лишь потенциально осуществимом, если для множества индивидуация – это его внутреннее свойство, независимое от наблюдателя и его способности различения, если, говоря в наших терминах, онтологическая индивидуация не зависит от гносеологической, то она – своеобразный предмет веры. Кантор хорошо это понимал, указывая на недостаточность средств, которыми мы располагаем, для заключения о такой индивидуации во всех случаях. Но при этом он надеялся на ясность понимания тех случаев, когда в математике имеет смысл пользоваться интуитивными принципами свёртывания и выделения (объёмности).

Вопрос о том, как индивидуализируются объекты в опыте, об объективном “в рамках опыта”—это уже гносеологический вопрос. Его решение необходимо связано с гносеологическими абстракциями отождествления и неразличимости и, как правило, со всякого рода ограничениями разнообразия онтологического универсума, с преобразованиями этого онтологического универсума в универсум гносеологический.

Конечно, эти преобразования не всегда приводят к ограничениям. Например, в арифметике каждому единственному натуральному числу из предполагаемого онтологического универсума их модели (гипотеза об однозначности натурального ряда!) ставится в соответствие бесконечное множество его тождественных прообразов, образующих своеобразный гносеологический универсум этих те<