Абстракция В лабиринтах познания

М.М. Новосёлов

АБСТРАКЦИЯ В ЛАБИРИНТАХ ПОЗНАНИЯ

Часть 1

(МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ)

Москва

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Актуальность темы “абстракция” определяется её историей. Более двух тысячелетий эта тема не сходит с повестки для любой теории познания, а её обсуждение и подходы к её решению определяют лицо самой теории познания. Для философии тема абстракции – это тот нелёгкий путь, на котором она сознательно отказывается от автономного существования, погружаясь в область гносеологических проблем “положительной науки”. При этом характер философского анализа проблем абстракции нередко оказывает неоспоримое влияние на формирование образа той или иной положительной отрасли знания, если не непосредственно, то через задачу обоснования, поскольку в вопросах обоснования проблема отношения “теория – опыт” сводится к проблеме “абстракция – опыт”. Именно здесь и вступают в силу методологические (философские) установки. Они особенно существенны тогда, когда общая потребность в обосновании определилась и вопрос только в форме обоснования.

Методологические установки, представленного выше повествования, сложились в начале 60-х гг. Позднее они приобрели характер “методологической программы” – явления типичного для второй половины 20-го века. Характеризуя интервальный подход как методологическую программу, её авторы выделили для себя пять основных её составляющих: 1) исходную единицу анализа (её исходный гносеологический таксон); 2) исходную проблему, определяющую направленность исследования; 3) главный гносеологический тезис, выражающий взгляд на возможность познания (“да” или “нет”); 4) конструктивный элемент программы, в котором представлена основная идея авторов программы; 5) наконец, общую модель процесса познания.

Поскольку главный гносеологический тезис интервальной программы включал безусловное “да”, а в качестве исходной единицы анализа было принято понятие абстракции, возникала естественная потребность в согласовании этих двух элементов программы. В самом деле, определяя абстракцию как метод намеренно неполного знания (а это следовало из всех известных “словарных”, да и не только словарных, её толкований), необходимо было дать объяснение почти парадоксальному тезису, который по существу составлял четвёртый пункт интервальной программы: “знание может быть частичным и всё-таки оставаться полным в себе”^[1]. Признаюсь, ни тогда, ни теперь я не знаю, как это сделать с точки зрения господствующей прадигмы, утверждающей, что всякая абстракция есть “упрощение”, “огрубление”, “омертвление” действительного положения вещей. Следовательно, ревизия понятия “абстракция” в этом смысле была необходима.

Но тревожил и информационный аспект проблемы. Если главный гносеологический тезис содержит безусловное “да”, то по мере углубления познания информация должна расти, а не исчезать. Но чистое отвлечение (если только не иметь в виду временный отказ из тактических соображений) есть потеря информации. А это в конечном счёте ведёт к ничему. Чтобы сохранить третий пункт, пришлось ввести принцип наследования информации по мере реализации последовательных обобщений^[2].

Наконец, вопрос о полных истинах, об исчерпывающем знании о чём-либо, указанный выше, – это вечный философский вопрос. И ответ на него, с точки зрения всё той же парадигмы, был таков: полное знание (то бишь абсолютная истина) абсолютно недостижима. Мы можем только асимптотически приближаться к полному знанию. Зато на этом асимптотическом пути мы кое-что можем знать приблизительно (то бишь относительно).

Признаюсь, я никогда не понимал этой теории. Во всяком случае, она не давала вразумительный ответ на вопрос об отношении полного (абсолютного) и неполного (относительного) знания. Если для наглядности мы представим себе “чистую” объективную реальность в виде прямой, перпендикулярной в точке а, то предел асимптоты в этой точке, как известно, будет равен бесконечности. И, как ядовито заметил Галилей, в бесконечности такую же часть составляют “много”, как “мало” и как “ничто”^[3].

Я всегда считал, что истина либо есть, либо её нет. И если я говорю, что “это истина, хотя ещё и не вся истина”, то это только faзon de parler, а вовсе не убеждение в существовании неких “полуистин”. Я понимаю интуиционистов, когда речь идёт о неразрешимости или неустановимости истинностных значений высказываний. Но ведь при этом, как показал Гливенко, речь не идёт о каком-либо третьем значении истинности – о чём-то, что не истинно и не ложно, а приблизительно истинно, скажем истинно на одну треть.. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет его понятием о гносеологической точности знания. Именно в связи с этим поняя_ания. Именно в связи с этим пон_о на одну треть.. Поэтому интервальный подход, отказываясь от постулата об асимптотическом приближении, заменяет ановятся средством “полного в себе” знания в соответствии с тезисом Эшби и научной позицией Галилея: “я утверждаю, что человеческий разум познаёт некоторые истины столь совершенно и с такой абсолютной достоверностью, какую имеет сама природа”^[4]. Этого же убеждения держались Лобачевский и Пуанкаре. И об этом я подробно говорю в этой книге.

Понятно, что в свете сказанного, конструктивным элементом интервальной программы должна была стать система абстракций, тактика и стратегия их применения в познавательном процессе. А для этого оказалось невозможным ограничиться той связкой абстракций, которая была унаследована от традиционной логики с добавлением математических абстракций бесконечности и осуществимости. При интервальном толковании познавательного процесса в понятие “абстракция” следовало вложить больше содержания, чем его могла дать идея “отвлечения”. Кроме того, потребовалось поставить вопрос о гносеологическом мероопределении абстрактных объектов и ввести для этой цели ряд новых для философии понятий – интервал абстракции, интервальная ситуация, интервальное равенство, интервальная неразличимость, гносеологическая фокусировка и ряд других. Их использование позволило по-новому поставить проблему истинности знания. А такие понятия, как “интервальная ситуация”, “гносеологическая фокусировка” или “гносеологическая точность” позволяют, помимо прочего, реабилитировать некоторые научные гипотезы и теории, снять с них обвинение в противоречивости или некорректности.

Работая в новой области, неизбежно приходится руководствоваться интуицией. Но если иметь в виду целое, ради которого и приходится работать, то нельзя забывать, что ясность целого определяется ясностью его частей. На сегодняшний день интервальная концепция, несмотря на обилие фактов её подтверждающих, всё ещё является феноменологической по существу ввиду недостаточной разработанности её логических основ. Однако кое-что в этом направлении всё же сделано – заявлена новая область исследований, которую я называю логикой абстракций. И не только заявлена. Для некоторых абстракций уже эксплицирована сопряжённая с ними логика. В частности, на этой основе строится новая (интервальная) концепция тождества. При этом знаменитый лейбницевский принцип оказывается предметом более точного гносеологического анализа.

Об этом я не говорю в этой части книги. Логике абстракций я надеюсь посвятить вторую часть. Её основная идея – сопоставить каждой вводимой абстракции ясный логический образ. Это был бы первый шаг к созданию теории абстракций par excellence, в которой абстракции были бы замкнуты логической связью, а не блуждали бы одиноко каждая сама по себе. Конечно, для некоторых абстракций логические модели уже есть. Но эта работа требует продолжения.

Наконец, я хотел бы отметить ещё один факт, не отражённый в этой книге. Если интервальная концепция познания верна, то в общей картине мира придётся отказаться от привычного “идеала порядка”. В общем случае, мы не можем говорить об “интервальной реальности” как упорядоченной структуре в математическом смысле термина “порядок”. Если же мы хотим сохранить термин “структура”, то с большой вероятностью следует ожидать структуру с “испорченным порядком”. Пользоваться для её характеристики такими понятиями, как “иерархичность”, “симметрия” и пр. придётся с большой осторожностью. Интервальная структура, вообще говоря, не моделируется кристалической решёткой, хотя в локальной области порядок, конечно, возможен. Таким образом, отаправляясь от чисто логической (а не физической) точки зрения, интервальный подход mutatis mutandis оказывается в общем круге идей, провозглашённых синергетикой.

Надеюсь, что эта работа не расходится с установками, указанными выше. Соответственно, и задачи, поставленные в ней, определяются, во-первых, интервальным методом исследования (с целью по возможности адекватно отразить некоторые реалии, относящиеся к сфере общей научной методологии) и, во-вторых, постоянной необходимостью развития и совершенствования логики научного познания, в которой проблемы научной абстракции и абстрактных моделей, равно как и всей логико-методологической составляющей, во многих случаях являются определяющими для содержания научных теорий. В 60-е гг., когда логика научного познания получила в России возможность для самостоятельного и более полного развития, тема абстракции привлекала многих отечественных методологов науки. Однако со временем интерес к этой теме был утрачен, хотя основной объект изучения, – процессы формирования и использования абстракций в качестве важнейшей составляющей технологии научного мышления, – остался. Между тем, собственное развитие науки и соответствующие перемены в способах и средствах научного познания требует постоянного обновления этой темы, обсуждения её с различных философских и методологических позиций и решения тех проблем, которые возникают или остаются нерешенными или необъяснёнными. При этом любое углублённое осмысление характера абстрагирующей работы мышления значимо не только для философии. В частности, оно необходимо для прикладной логики и математики в условиях глобальной компьютеризации информационных процессов и признания ключевой (технологической) роли процессов абстракции при создании машинных программ. Не случайно тема абстракции стала одной из центральных в информатике. Но если потребность в абстракциях (и их анализе) весьма ощутима в случае оптимального оперативного планирования вычислений, где информационные процессы сравнительно скромны, то в случае обработки и преобразования произвольной знаковой информации фундаментальная роль абстракций сомнению не подлежит.

Введение. Философия и наука

В каком-то смысле наука и философия представляют

собой лишь разные аспекты одноговеликого дела

человеческого мышления.

(Альфред Норт Уайтхед, “Приключение идей”)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Эта книга не является механическим объединением прежних публикаций автора, выходивших в разных изданиях и в разное время, хотя результаты прежних исследований составляют её основу. Это итог многолетних размышлений над темой “абстракция”. Не удивительно, что содержание книги ограничено собственной концепцией её автора. И тем не менее, для лучшего понимания проблем, затронутых в ней, желательно знакомство с книгами других отечественных авторов: Д.П.Горского (“Вопросы абстракции и образование понятий”, М., 1961), М.А.Розова (“Научная абстракция и её виды”, Новосибирск, 1965), Ю.А.Петрова (Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости”, М., 1967), Ф.В.Лазарева (“О природе научных абстракций”, М., 1971) и Ю.А.Гастева (“Гомоморфизмы и модели”, М., 1979). Пожелание для реализации, скажем, не лёгкое не только из-за обширности круга чтения, но и потому, что названных книг давно нет на полках книжных магазинов, а более поздних изданий не появлялось. Так уж случилось, что за последние двадцать лет тема абстракции была “снята с повестки для” российской методологии науки (да и не только российской). Но наука держится на непрерывности и преемственнности её результатов. Их закрепление и сохранение – это, по мысли Гегеля, единственный способ, которым может быть обеспечено развитие науки. При этом “подлинная научность” не требует однообразия выводов и согласия исследователей по всем вопросам, в особенности, если речь идёт о вопросах методологических. Вот почему всегда полезно руководствоваться советом Ф.М.Достоевского – “послушать везде, а не с одного лишь краю, чтобы составить понятие”.

 

^[1] Эшби У.Р., Введение в кибернетику, М., 1959, с. 150. Тезис кажется парадоксальным, хотя парадоксальности в нём не больше, чем в замечании Макса Планка, что всё относительное в последнем основании связано с чем-либо абсолютным.

^[2] Новосёлов М.М., О гносеологической точности // Философские вопросы технического знания, М., 1984, с. 135.

^[3] Галилео Галилей, Диалог о двух главнейших системах мира. Птоломеевой и Коперниковой, М.-Л., 1948, с. 88.

^[4] Там же, с. 89.

^[5] Вернадский В.И., Размышления натуралиста, кн. 2, М., 1977, с. 25.

^[6] Цит. по кн.: Пайс А., Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна, М., 1989, с. 20.

^[7] Лузин Н.Н., Соч., т. 2, М., 1958, с. 269.

^[8] Вернадский В.И., Труды по всеобщей истории науки, М., 1988, с. 58.

^[9] Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, М., 1972, с. 14. (Rasiowa H., Sikorski R., The Mathematics of Metamathematics, Warszawa, 1963, s. 8-9.).

^[10] Гейтинг А., Интуиционизм, М., 1965, с. 19.

^[11] Об одной из версий, объясняющих причину разрыва, см. в кн.: Франк Ф., Философия науки, М., 1960.

^[12] Бердяев Н.А., О человеке его свободе и духовности, М., 1999, с. 23.

^[13] Рассел Б., История западной философии, М., 1959, с. 7.

^[14] Вейль Г., Математическое мышление, М., 1989, с. 41-42.

^[15] Эйнштейн А., Физика и реальность, М., 1965, с. 67.

^[16] Герц Г., Принципы механики, изложенные в новой связи, М., 1959, с. 41.

^[17] Эйнштейн А., Собрание научных трудов, т. 4, М., 1967, с. 91.

^[18] Башляр Г., Новый рационализм, М., 1987, с. 29.

^[19] Рёссель Б., Проблемы философии, Петроград, 1915, с. 5.

^[20] “Неизменная научная истина составляет тот далёкий идеал, к которому стремится наука” (Вернадский В.И., Труды по всеобщей истории науки, М., 1988, с. 47).

^[21] Destouches J.L., Mйthode et mйthodologie de la science // Atti del congresso di metodologia, Torino, 1952.

^[22] См.: Вернадский В.И., Труды..., с. 51-52.

^[23] Точка зрения Лазарева по этому вопросу исчерпывающим образом представлена в монографии: Кураев В.И., Лазарев Ф.В., Точность, истина и рост знания, М., 1988 и в более ранней его работе: Лазарев Ф.В., О природе научных абстракций, М., изд. “Знание”, 1971.

^[24] Moore R.E., Interval analysis, Prentice-Hall, 1966.

^[25] Льюис Г.Н., Анатомия науки, М.-Л., 1929, с. 7.

^[26] Кант И., Соч., т. 2, М., 1964, с. 261.

^[27] Ленин В.И., Полное собрание сочинений, т. 29, М., 1973, с. 203.

^[28] Колмогоров А.Н., Основные понятия теории вероятностей, М., 1974, с. 19.

^[29] Джевонс Ст., Основы науки. Трактат о логике и научном методе, СПБ, 1881, с. 97-98.

^[30] Новосёлов М.М., Посылка // Большая Советская Энциклопедия, т. 20, М., 1975, с. 424 или его же: Абстракция и научный метод // Логика научного познания, М., 1987.

^[31] Аристотель, Соч., т. 4, М., 1984, с. 655.

^[32] Фарадей М., История свечи, М., 1980, с. 15.

^[33] См.: Есенин-Вольпин А.С., Связь // Философская Энциклопедия, т. 4, М., 1967.

^[34] Об этом понятии см.: Новосёлов М.М., О гносеологической точности // Философские вопросы технического знания, М., 1984 или: Novosyolov M., On epistemological preciseness: Interval approach // Science as a subject of study, Editorial Board, Moscow, 1987.

^[35] Кураев В.И., Лазарев Ф.В., Точность, истина и рост знания..., с. 69.

^[36] Шрейдер Ю.А., Шаров А.А., Системы и модели, М., 1982, с. 27.

^[37] Эйнштейн А., Физика и реальность, М., 1965, с. 78.

^[38] Александров А.Д., Проблемы науки и позиция учёного, Л., 1988, с. 121. Аналогичным образом и математика релятивизировала свои понятия относительно выразимости их значений в подходящих формальных системах. При этом вопрос “а как же на самом деле?” выносится за скобки и лишается смысла.

^[39] Этот принцип более естественным было бы связывать с (тоже интервальной) идеей независимости физической реальности от способов описания, чем с идеей её относительности.

^[40] Беседы Эпиктета, М., 1997, с. 113.

^[41] См.: Новосёлов М.М., О логике эмпирических неразличимостей // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик, М., 1989.

^[42] См.: Новосёлов М.М., О некоторых понятиях теории отношений // Кибернетика и современное научное познание, М., 1976 или: Б С Э, т. 24, кн. 1, М., 1976, с. 209.

^[43] Хармут Х.Ф., Теория секвентного анализа. Основы и применения, М., 1980, с. 88.

^[44] См.: Эббот Э.Э., Флатландия, Бюргер Д., Сферландия, М., 1976.

^[45] Эйнштейн А., Физика и реальность..., с. 172.

^[46] О некоторых других методологических аспектах, связанных с понятием интервальной ситуации, см.: Бажанов В.А., Новосёлов М.М., Логика познания и логика абстракций в аспекте интервальной семантики // Логика научного познания..., с. 216-220; Кураев В.И., Лазарев Ф.В., Точность, истина и рост знания..., с. 31-41.

^[47] Соловьёв В., Избранное, М., 1990, с. 150-151.

^[48] См., например: Chwolson O. D., Traitй de physique. Introduction gйnйrale, t. 1, Paris, 1908.

^[49] Метод в науках, СПБ, 1911, с. 111.

^[50] Гуревич Л.Э., Электродинамика, Л., 1940, с. 256.

^[51] Бройль Л. де, Революция в физике: (Новая физика и кванты), М., 1965, с. 13.

^[52] “Вообще метод расщепления понятий (на два или большее их число) в соответствии с различными возможными оттенками есть один из наиболее важных способов уточнения (конкретизации) смысла выражений. Этот метод постоянно используется наукой, когда речь идёт именно о логическом анализе значения выражений и уточнении их смысла” (Яновская С.А., Предисловие // Карнап Р., Значение и необходимость, М., 1959, с. 11).

^[53] Аристотель, Соч., т. 1, М., 1976, с. 326. Эту мысль позднее повторит и Лейбниц: “отвлечение не есть ошибка, лишь бы только мы знали, что то, что скрывается за отвлечением, существует” (Лейбниц Г.В., Новые опыты о человеческом разуме, М.-Л., 1936, с. 53).

^[54] См.: Аристотель, Соч. т. 1..., с. 277.

^[55] Кант И., Соч., т. 3, М., 1964, с. 302. Рискну приоритет такого подхода приписать тому же Аристотелю: “Когда созерцают умом, необходимо, чтобы в то же время созерцали в представлениях: ведь представления – это как бы предметы ощущения... только без материи” (Аристотель, Соч., т. 1,... с. 440).

^[56] В локально-конечный ориентированный граф без петель.

^[57] Ньютон И., Оптика, М.-Л., 1927, с. 331.

^[58] Замечательно, что многим сторонникам эмпиризма это не мешало утверждать, что в том, что не поддаётся математическому (абстрактному) описанию, нет достоверности, что природа не только не боится трудностей математического анализа, но и сама написана на языке математики.

^[59] Кондильяк Э.Б. де, Соч., т. 2, М., 1982, с.12. См. также: Беркли Дж., Соч., М., 1978.

^[60] Кант И., Трактаты и письма, М., 1980, с. 399.

^[61] Гегель Г.В.Ф., Наука логики, т. 3, М., 1972, с. 56.

^[62] Маркс К., Энгельс Ф., Соч., изд. 2-е, т. 36, с. 180.

^[63] Вернадский В.И., Труды по всеобщей истории науки, М., 1988, с. 210.

^[64] См.: Мах Э., Познание и заблуждение, М., 1909, с. 142.

^[65] В основном со стороны немецких неоонтологистов (Гуссерля и Кассирера). Я здесь опускаю ссылку на более раннюю критику Дж. Беркли, который был противником не только локковской, но и всякой иной теории абстракций. Кстати, позицию Беркли относительно локковской теории Кассирер называет “психологической критикой абстрактного”, считая, что Беркли остаётся всецело в рамках традиционного взгляда на понятие.

^[66] Кассирер Э., Познание и действительность, СПБ, 1912, с. 23.

^[67] Клейн Ф., Отзыв о сочинении Софуса Ли... // Об основаниях геометрии, М., 1956, с. 437.

^[68] Хотя с обещания продемонстрировать “идею множества” на примере начинается почти каждый учебник по теории множеств и функций.

^[69] Beth E.W., The foundations of mathematics, Amst., 1959, p. 471.

^[70] Такова, в частности, ситуация в формальной арифметике, где потребность в точных (рекурсивных) определениях, устанавливающих существование и единственность основных арифметических операций, является решающей и в методологическом, и в логическом смысле.

^[71] Ср.: Успенский В.А., Теорема Гёделя о неполноте, М., 1982, с. 9.

^[72] Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, М., 1966, с. 14.

^[73] Манин Ю.А., Доказуемое и недоказуемое, М., 1979, с. 153. См. также: Фейс К., Алгебра, кольца, модули и категории, т. 1, М., 1977, с. 581-582.

^[74] Коэн П.Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, М., 1969, с. 40.

^[75] Так, традиционная аксиоматика отношений типа равенства, восходящая к Лейбницу и Вольфу, существенно суживала взгляд на свойства этих отношений. При этом анализ эмпирических (метрических) отношений равенства, для которых постулат транзитивности, вообще говоря, не выполняется, так и не был принят во внимание пока ограничивались классом математических моделей.

^[76] По шутливому, но образному замечанию Д. Гильберта, наша личная “точка зрения” возникает тогда, когда пространство представлений о мире, называемое нашим умственным горизонтом, вырождается в одну из своих предельных точек. См.: Физики продолжают шутить, М., 1968, с. 71.

^[77] Mannoury G., Les deux pфles de l’esprit, Paris, 1932.

^[78] Уайтхед А.Н., Избранные работы по философии, М., 1990, с. 641.

^[79] См.: Марков А.А., О логике конструктивной математики, М., 1972, с. 8.

^[80] Ситуация сходна и в других языках. Во французском глагол abstraire имеет только переходную форму. Непереходной форме того же глагола соответствует речевой оборот “faire l’abstraction de”.

^[81] Выбор познавательного аспекта очевидным образом отражается и в производных от этого слова. Так, в выражениях “абстрактный плод” или “абстрактный писатель” предикат имеет явно отрицательный смысл, тогда как в выражениях “абстрактный труд” или “абстрактная алгебра” – положительный.

^[82] Гегель Г.В.Ф., Наука логики, т. 3, М., 1972, с. 38.

^[83] Кант И., Трактаты и письма..., с. 398.

^[84] Кант И., Трактаты и письма..., с. 399.

^[85] На первый взгляд это представляется не столько как различие по значению, сколько как различие по фразеологической связанности. Однако следует принять во внимание, что текстовое окружение способно играть смыслоразличительную и даже смыслопорождающую роль. Эта ситуация отчасти схожа с ситуацией в позиционных системах счисления, где сходные цифры системы помимо их свободных (натуральных) значений приобретают определённые контекстные значения в соответствии с их положением в линейной записи числа.

^[86] Лузин Н.Н., Собр. соч., т. 2, 1958, с. 23.

^[87] См.: Барендрегт Х., Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика, М., 1985.

^[88] Бом Д., Специальная теория относительности, М., 1967, с. 270.

^[89] Гёльдер О., Наглядное представление и мышление геометрии // Новые идеи в математике, СПБ, 1914, сб. 8, с. 79-80.

^[90] Насколько та или иная теория выражается в словах, настолько её предмет (её “природа”) выражается в значениях этих слов. А эти значения необходимо абстрактны, как необхлдимо абстрактны значения слов вообще.

^[91] В своей теории тождества Фреге исходил, по-видимому, из другой точки зрения. Он имел в виду только тождество предметных, но не смысловых значений.

^[92] Гегель Г.В.Ф., Работы разных лет, т. 2, М., 1971, с. 16.

^[93] См.: Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия, М., 1981.

^[94] Аналогично высказался и Рассел: “математические понятия ничего не получают от чувств” (Рассел Б., Человеческое познание, М., 1957, с. 41).

^[95] Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика?, М., 1967, с. 224.

^[96] Об этом подробнее см.: Пидоу Д., Геометрия и искусство, М., 1979.

^[97] Шанин Н.А., О критике классической математики // Труды матем. института им. В.А. Стеклова, LXVII, Проблемы конструктивного направления в математике 2, М.-Л., 1962., с. 284.

^[98] Мах Э., Познание и заблуждение, М., 1909, с. 145.

^[99] То, что между элементарной и проективной лежат аффинная и неевклидовы геометрии только усиливает эту нашу обязанность.

^[100] Проективная геометрия является хорошим примером максимальной верхней границы такого рода цепи, поскольку проективная геометрия – это в известном смысле “вся геометрия”.

^[101] Математическая энциклопедия, т. 1, М., 1977, с. 443.

^[102] Яновская С.А., Проблемы введения и исключения абстракций более высоких (чем первый) порядков // The foundation of statements and decisions, Warszawa, 1965.

^[103] Так, Кант указывает на математику, в которой, по его мнению, вполне удовлетворяется это требование: в геометрии – ввиду наглядности фигур, в арифметике – ввиду наглядности целых чисел, чувственно представимых на “пальцах, костяшках счётов или палочках и точках” (Кант И., Соч., т. 3, М., 1964, с. 302).

^[104] Freudenthal H., Logique mathйmatique appliquйe, Paris – Louvain, 1958, p. 46.

^[105] См.: Bain A., Logic inductive and deductive, L., 1870.

^[106] Подробнее об этой трудности см.: Есперсен О., Философия грамматики, М., 1958, гл. Х.

^[107] Энгельс Ф., Из подготовительных работ к “Анти-Дюрингу” // Маркс К., Энгельс Ф., Соч., изд. 2-е, т. 20, с. 631.

^[108] Фейнман Р., Характер физических законов, М., 1968, с. 119.

^[109] Дьедонне Ж., Линейная алгебра и элементарная геометрия, М., 1972, с. 28.

^[110] См.: Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики, т. 1. М., 1979.

^[111] См.: Девис М., Прикладной нестандартный анализ, М., 1980; Успенский В.А., Нестандартный, или неархиметов, анализ, М., 1983.

^[112] Цит. по кн.: Кудрявцев П.С., Курс истории физики, М., 1982, с. 165.

^[113] О попытках такого рода см., например, в кн.: Бажанов В.А., Проблема полноты квантовой теории: поиск новых подходов, Казань, 1983.

^[114] Тыугу Э.Х., Концептуальное программирование, М., 1984, с. 15.

^[115] Frege G., Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel, Bd. 2, S. 142.

^[116] Frege G., The Foundations of Arithmetic // Цит. по кн.: Тулмин Ст., Человеческое понимание, М., 1984, с. 70. Полезно сравнить это высказывание Фреге со словами Платона, вынесенными в эпиграф этого параграфа.

^[117] О процессах эволюции и революции с точки зрения биолога см. например: Любищев А.А., Проблемы формы, систематики и эволюции организмов, М., 1982.

^[118] “постоянные величины существуют только в нашем уме как продукт отвлечённого мышления” (Жегалкин И.И., Слудская М.И., Введение в анализ, М., 1935, с. 64).

^[119] В этом случае время для нас не только непрерывно “течёт”, но и течёт равномерно.

^[120] Лузин Н.Н., Дифференциальное исчисление, М., 1961, с. 56.

^[121] “Мне казалось, что время остановилось и я погружён в какую-то всемирную немоту. На самом же деле прошло несколько секунд, и я услышал незнакомый и вместе с тем будто бы очень знакомый голос: – Какого дьявола расстреливаете! Забыли приказ?” (Паустовский К., Повесть о жизни, М., 1966, т. 1, с. 671).

^[122] Достоевский Ф.М., Полное собр. соч., М., 1978, т. 18, с. 97.

^[123] Путём астрономических или физических наблюдений.

^[124] “Если бы не существовало закона сохранения тяжёлых частиц, то менее чем за тысячную долю секунды всё вещество Вселенной распалось бы на электроны и нейтрино” (Орир Дж., Популярная физика, М., 1966, с. 402).

^[125] “Этот космос... есть и будет вечно живым огнём” (Гераклит, Фрагменты // Материалисты древней Греции, М., 1955, с. 44).

^[126] Всё совершается согласно логосу, говорил Гераклит, а логос – это “мера назначенного круга времени”.

^[127] См.: Уитроу Дж., Естественная философия времени, М., 1964, гл. 3.

^[128] Вейль Г., Математическое мышление, М., 1989, с. 157. Наглядную (феноменологическую) непрерывность Ф. Клейн называет “кажущейся”, не усматривая в ней достаточных условий для точной математической трактовки. Почему? Да потому, что в этой непрерывности “все точки прямой тождественны, так как они все имеют одни и те же свойства” (Лузин Н.Н., Соч., т. 2, М., 1958, с. 264). Отождествление арифметической и объективной (феноменологической) непрерывности – это постулат, на который нет запросов, кроме запросов анализа.

^[129] См.: Рейхенбах Г., Направление времени, М., 1962, гл. 2.

^[130] См.: Драгалин А.Г., Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств, М., 1979, с. 18.

^[131] Вот секвенциальный вариант доказательства этой теоремы в минимальной логике:
А, А, В Þ А; А, А Þ (В É А); А, А, (В É А) Þabs; А, (В É А) Þ А;
А Þ ((В É А) É А); Þ А É ((В É А) É А).

^[132] Цит. По кн.: Ахманов А.С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960, с. 279.

^[133] Более точно я определил бы эту абстракцию так:: каково бы ни было А, всегда найдётся такая окрестность А, что будет истинна формула (А É А).

^[134] См.: Новосёлов М.М., Тождество // Философская Энциклопедия, т. 5, М., 1970.

^[135] “... от смерти к смерти идёт тот, кто видит здесь (в объективном мире – М.Н.) что-либо, подобное различию...” (Упанишады, М., 1967, с. 108).

^[136] “Физики говорят, что можно сосчитать общее количество элементарных частиц, например, электронов, но нельзя каждой частице приписать определённый номер, так как частицы эти неразличимы в буквальном смысле” (Пирс Дж., Символы, сигналы, шумы, М., 1967, с. 20).

^[137] “Исходя из этого принципа, Лейбниц отвергал возможность существования атомов... На основании тождественности всех электронов мы теперь можем сделать вывод о ложности этого принципа” (Фейнберг Дж., Из чего сделан мир?, М., 1981, с. 88-89). Я не присоединяюсь здесь к этому заключению, но и не оспариваю его. В дальнейшем у меня будет случай к нему вернуться.

^[138] Более подробную историю вопроса можно найти в кн.: Штёкль А., История средневековой философии, СПБ., 1996, или в кн.: Коплстон Ф.Ч., История средневековой философии, М., 1997; или в кн: Jorge J., Gracia E., Introduction to the Problem of Idividuation in the Early Muddle Agees, Munich, 1984.

^[139] См.: Фейербах Л., История философии, М., 1974, с. 136; Brochard V., Sur la logique des
stoїciens // Йtudes de philosophie modern, Paris, Vrin, 1912. Судя по работе: Sedley D., Le critиre пidentitй chez les stoїciens // Revue mйtaphysique et de Morale, № 4, 1989, стоики не видели разницы между индивидуацией и тождеством.

^[140] “Есть очень большая трудность в определении... индивидуальности. Тут невозможно дать строгого научного определения” (Бердяев Н.А., Русская идея... // О России и русской философской культуре, М., 1990, с. 43).

^[141] Об индивидуации у Аристотеля подробнее см.: Lloyd A.C., Aristotele`s Principle of Individuation // Mind, v. LXXIX, № 316, р. 519-529. Моё толкование темы не зависит от этой статьи.

^[142] Отсюда смысл и значимость всех гуманитарных принципов, защищающих свободу личности и права человека.

^[143] Аристотель, Метафизика, М.-Л., 1934, кн. 3, гл. 4; кн.7, гл. 8.

^[144] К этому важному положению (тезису) я ещё вернусь, а пока отмечу только мысль Н.Н. Лузина, что истинно полезны в математическом познании (теории) только те идеальные объекты, которые индивидуально различимы (индивидуализируемы).

^[145] Лейбниц Г.В., Соч., т. 1, М., 1982, с. 134.

^[146] Лейбниц Г.В., Новые опыты о человеческом разуме, М.-Л., 1936, с. 53.

^[147] Локк Дж., Соч., т. 1, М., 1985, с. 382.

^[148] “Математически точным указанием координат пространства для данного момента времени мы выделяем, в силу непроницаемости материи, вполне однозначно, – так, что немыслимо никакое смешение, – любой абсолютно простой, как и крайне сложный, объект, не нуждаясь для этой цели в перечислении тех или иных его признаков и свойств” (Чупров А.А., Очерки по теории статистики, М., 1959, с. 59-60).

^[149] “Какой бы сложной комбинацией свойств мы ни характеризовали данный объект, никогда нельзя поручиться, что там или здесь, если не в настоящее время, то в отдалённом будущем или в глубоком прошлом, эта комбинация не воспроизведётся” (Чупров А.А., Там же, с. 58). См. также: Гоббс Т., Соч., т. 1, М., 1964, с. 163-164.

^[150] “Если две вещи совершенно одинаковы, то из-за этого они всё же не перестают быть двумя вещами” (из письма Кларка к Лейбницу // Лейбниц Г.В., Соч., т. 1, М., 1982, с. 458).

^[151] Лейбниц Г.В., Соч., т. 2, М., 1983, с. 290-291.

^[152] Постулат об обязательном существовании таких свойств – это уже предмет веры.

^[153] Эта и все последующие терминологические новшества, касающиеся индивидуации, были введены в моих ст.: Новосёлов М.М., Категория тождества и её модели // Кибернетика и диалектика, М., 1978; он же, Об абстракциях неразличимости, индивидуации и постоянства // Творческая природа научного познания, М., 1984.

^[154] См.: Математическая Энциклопедия, т. 1, М., 1977, с. 219.

^[155] “Признание того или иного предмета за индивидуальность зависит... от той или иной точки зрения” (Филиппов М.М., Популярные лекции по логике, СПб., 1901, с. 13).

^[156] См.: Гоббс Т., Избранные произведения, т. 1, М., 1964, с. 63.

^[157] См.: Лейбниц Г.В., Соч., т. 2, М., 1983, с. 291.

^[158] Колмогоров А.Н., Теория информации и теория алгоритмов, М., 1987, с. 241.

^[159] Об особом статусе самотождественности см. ниже.

^[160] Лузин Н.Н., Соч., т. 2, М., 1958, с. 269.

^[161] Лейбниц Г.В., Избр