Математические модели в задачах диагностики

Экспериментальные данные, обеспечивающие получение статических зависимостей, описывающих связи между нарушением в конструкции объекта и измеряемым параметром, можно получить только для объектов массового производства. В некоторых случаях такие зависимости получить невозможно. Тогда один из способов получения необходимой информации – использование уравнений, описывающих процессы в элементах объекта, в том числе и процесс развития неисправности, т.е. математических моделей объекта. В результате расчётов с использованием, как уравнений объекта, так и уравнений неисправности, устанавливается связь между степенью развития неисправности и поведением измеряемых параметров, т.е. информация, необходимая для формирования алгоритмов систем функционального диагностирования (СФД).

Математические модели (ММ) элементов системы. Математические модели (ММ) элемента системы – это совокупность дифференциальных и алгебраических уравнений, эмпирических формул, таблиц, графиков, описывающих характеристики элемента (агрегата, узла), т.е. связи между внутренними и внешними управляющими и возмущающими параметрами:

 

F (x, y, u) = 0,	(2.4)

где x – вектор параметров объекта; y – вектор управляющих воздействий; u – вектор возмущающих воздействий.

Для задач функциональной диагностики ММ применяются при моделировании (численный эксперимент) развития той или иной неисправности с целью выявления диагностических признаков и проверки эффективности работы технических средств диагностики. Существуют ММ нормально функционирующего элемента и ММ, в которые заложены данные развития той или иной неисправности. Последние ММ определяют связи между изменением конструктивных параметров, вызывающих ненормальную работу объекта, и измеряемыми параметрами. Эти два типа ММ могут существенно отличаться, так как появление неисправности может изменить структуру объекта, а также приводит к появлению новой переменной, характеризующей степень развития неисправности.

По способу формирования ММ можно разделить на аналитические, эмпирические и полуэмпирические.

По форме записи используемых уравнений, а точнее – по глубине описания процесса, все ММ делятся на линейные и нелинейные. Кроме того, в зависимости от характера исходных данных, методов их обработки при формировании ММ, полуэмпирические и эмпирические ММ делятся на детерминированные и стохастические. Соотношение между характерными размерами исследуемого объекта и длиной распространяющихся в объекте волн позволяет определить необходимость использования ММ, описывающих объект как систему с распределенными или сосредоточенными параметрами.

Из соотношения между характерной постоянной времени системы и временем развития неисправности выясняется вопрос о необходимости учета динамических процессов в системе или возможности ограничиться квазистатическим подходом, т.е. использовать статические ММ. Аналитические модели содержат дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия к ним, алгебраические зависимости, полученные из общих физических закономерностей. Преимущество аналитических ММ – их общность, возможность описания процессов в достаточно широком круге объектов. Существенные недостатки этих ММ – невысока точность описания свойств многих объектов из-за сложности реальных процессов и отсутствия для них достаточно точных аналитических зависимостей, а также трудоемкость нахождения решений, описывающих более или менее сложные процессы, даже с использованием современных ЭВМ.

Эмпирические (экспериментальные) модели обладают достаточной точностью, однако для получения функциональных связей между параметрами процесса в объекте и внешними возмущениями или регулирующими параметрами необходим большой объем экспериментов. Результаты экспериментов не всегда можно распространить на подобные объекты. Для получения обобщенных экспериментальных зависимостей, пригодных для описания процессов в ряде однотипных объектов, необходимо использовать методы теории подобия.

Наибольшее распространение получили смешанные полуэмпирические ММ, при формировании которых используются как общие физические закономерности, так и данные экспериментов, которые позволяют учесть многие детали процесса, не учитываемые аналитическими ММ.

В случае формирования чисто эмпирических и полуэмпирических ММ для выбора наиболее удобной формы уравнений и определения их коэффициентов используются методы идентификации. Все перечисленные виды ММ находят применение при построении ТСД.

В нелинейных уравнениях, записываемых в форме (2.4), переменные x, y, u и их производные входят в виде произведений, степеней, трансцендентных функций и т.д. Линейные (линеаризированные) уравнения имеют форму

 

A(s) x = φ (y, u),	(2.5)

где A (s) – квадратная матрица, коэффициенты которой – многочлены по s; s = d / d t – оператор дифференцирования. Для линейных уравнений существуют хорошо разработанные методы решения, для них применим принцип суперпозиции; для нелинейных уравнений таких общих методов решений нет. Для большинства объектов, включающих ТСД, изменения параметров процессов в достаточно широком диапазоне описываются нелинейными зависимостями.

В зависимости от класса решаемой задачи один и тот же объект можно описать как нелинейными, так и линейными (линеаризованными) уравнениями, и если позволяют условия использования результатов решения, всегда имеет смысл хотя бы в первом приближении решать линейное (линеаризованное) уравнение.

При построении ММ допустимая степень упрощения модели определяется условиями функционирования системы.

Модели объектов, состоящих из связанных между собой элементов (агрегатов, устройств), формируются в два этапа: вначале создание ММ процессов в отдельных органах, агрегатах, узлах системы, а затем разработка ММ всей системы в целом с участием частных ММ отдельных подсистем и структуры связей между ними.

Математические модели систем. Для анализа состояния системы необходимо из ММ элементов собрать ММ всей системы, однако совокупность всех ММ, входящих в систему элементов, не является еще ММ системы. Для формирования замкнутой системы уравнений к уравнениям элементов необходимо добавить уравнения связей между параметрами входящих в ММ элементов. Если нарисовать схему системы, то все элементы окажутся связанными между собой, так как между ними осуществляется обмен информацией, рабочей средой, электрическим током, энергией и т.д. Для сечений или точек, связывающих между собой элементы, соблюдаются законы сохранения. В этом случае удобно применить аппарат теории цепей.

Модели неисправности. Под моделью неисправности понимается аналитическая или стохастическая зависимость, связывающая параметр, характеризующий степень развития неисправности, с временем или параметрами объекта диагностики. В качестве параметра, характеризующего неисправность, обычно используются первичные конструктивные параметры объекта, изменение которых является причиной появления признаков неисправности – изменения измеряемых параметров.

Как правило, используются ММ простых неисправностей, которые связаны с отклонением от нормального значения конструктивного параметра только одного агрегата объекта диагностики. Случай сложной неисправности, когда от нормального значения отклоняются одновременно (или в какой-то последовательности) конструктивные параметры ряда агрегатов, очень неудобен как для моделирования, так и для диагностики из-за многообразия возможных сочетаний параметров по величине, взаимной последовательности и т.д.

Если моделируются неисправности, нарушающие структуру моделируемой системы, то возможные неисправности должны быть заранее предусмотрены в ММ в виде отдельных структурных элементов.

Для воспроизведения картины развития неисправности с помощью ММ объекта в первую очередь необходимо определить, за какое характерное время развивается неисправность. Если это время соизмеримо или меньше характерной постоянной времени объекта, то необходимо использовать ММ объекта диагностики, в которой учтены динамические эффекты, т.е. члены с производными по времени. Для таких неисправностей закон изменения первичных признаков (отклонений параметров) задается как функция времени:

 

Δ єi =

0 при t < t н; ƒi (t) при t н ≤ t ≤ t к; const при t > t к,

(2.6)

 

где Δ є_i – отклонение i -го первичного конструктивного параметра, являющегося причиной развития данной неисправности; t _н – момент начала отклонения первичного параметра за допустимые пределы; t _к – момент окончания измерения первичных параметров; ƒ_i (t) – закон изменения во времени.

Возможен другой вариант соотношения характерных времен, когда время развития неисправности на много больше постоянной времени объекта. В этом случае можно использовать квазистационарную ММ объекта, в которой отсутствуют члены с производными по времени.