Ответ №1 Операции над случайными событиями.

Ответ №1 Операции над случайными событиями.

1. Ᾱ - читается «не А», означает, что событие А не произошло.

Р(Ᾱ) + Р(А) = 1

2. Сумма двух событий. А + В – читается как «А или В»

Суммой двух случайных событий называется случайное событие, что произойдёт хотя бы одно из двух.

А + В = В + А

А + А = А

А + Ø = А

А + Ω = Ω

Если два случайных события несовместны, то:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

3. Произведение двух случайных событий. А • В – читается как «А и В»

Произведение двух случайных событий называется случайное событие, в котором совпадают оба события.

Независимые события не могут произойти вместе, следовательно = Ø

А • В = В • А

А • А = А

А • Ø = Ø

А • Ω = А

А • (В+С) = АВ + АС

4. Формула сложения вероятностей, когда совместны:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А •В) Не путать с формулой, когда события несовместны!!!

5. А\В – разность событий.

Если событие А наступает, то событие В нет.

В\А = В •

 

Ответ №2 Классическая модель Т.В. Формулы комбинаторики.

1. Классическая модель:

А – случайное событие

n – все исходы

m – благоприятствующие исходы

Р(А) = m ÷ n

2. Пусть множествоА состоит из k элементов:A = {a₁, …, a_k}, а множество B — из m элементов:B = {b₁, …,b_m}. Тогда можно образовать ровно km пар (a_i, b_j), взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

o Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.

o Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.

o Выбор с учётом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается.

o Выбор без учёта порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

o Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

3. А) Число размещений из n по k элементов (общее кол-во различных наборов при выборе kэлементов из n без повтора)

Б) С повтором:

4. Число сочетаний (Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и без учёта порядка равняется)

Свойства:

5. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется n^k.

6. Комбинаторика – изуч кол-во комбинаций, подчиненных опред условиям, кот можно составить из эл-тов заданного конечного множества. Перестановки – комбинации, сост из одних и тех же n различных элементов и отл только порядком расположения. Число всех возм переест= Р_n=n!. Размещения – комбинации, сост из n разл эл-тов по m эл-тов, отл составом или порядком. А^m_n=n(n-1)(n-2)…(n-m+1). Сочетания – комбинации, сост из n различных эл-тов по m эл-тов, кот отл хотяб 1 эл-том. C^m_n=n!/(m!(n-m)!).

7. А=Р*С. Если n повторяются, то P_n(n1,n2,…)= n!/(n1!*n2!*…), n1+n2+…=n.

 

Ответ №3 Вероятность суммы двух случайных событий.

Несовместные события.

Существует две формулы суммы двух случайных событий – когда они совместны и когда они несовместны.

Когда они совместны:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р (А •В)

Когда несовместны:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Вероятность события А+В определяется отношением меры области|A+B|, составленной из двух подобластей А и В, к мере всей области G. Мера двух областей А и В равна сумме мер каждой области: |A+B| = |A|+|B|. Поэтому вероятность события А+В также равна сумме вероятностей двух событий:P(A+B)=|A+B|÷|G| = |A|÷|G| + |B|÷|G| = P(A) + P(B).

 

 

Ответ №4 Условная вероятность события. Формула умножения вероятностей.

Независимые события.

Формула умножения вероятностей:

 

События А, В Е называются независимыми, если Р (А • В) = Р (А) · Р (В).

В противном случае события А и В называются зависимыми.

 

Ответ №5 Формула полной вероятности.

Применяется для определения вероятности ещё не наступившего события.

 

Н₁, Н₂,…, Н_n – гипотеза. Гипотезы – события, совершённые до основного события.

Н_i • H_j = Ø – две противоположные гипотезы.

Н₁ + Н₂ +…+ Н_n = Ω

Р(Н₁)+Р(Н₂)+…+Р(Н_n) = 1

 

 

Формула Байеса.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности

Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез

По теореме умножения вероятностей откуда .

 

Таблица распределения дискретной С.В.

Таблица совместного распределения двух дискретных С.В.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Таблица распределения дискретной С.В – это закон распределения дискретной С.В., представленный в виде таблицы, чтобы показать соответствие между возможными значениями и их вероятностями (Биномиальный закон).

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения:

математическое ожидание M(X) = np,

дисперсия D(X) = npq,

мода np-q ≤ Mo ≤ np+p

n – число испытаний, p – удачи, q – неудачи

 

Таблица совместного распределения двух дискретных С.В.

Законом распределения дискретной двумерной С.В. называют перечень возможных значений этой величины (т.е. пар чисел (х_i, y_j) и их вероятностей р(х_i, y_j) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей Х, а первый столбец – все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей напересечений «столбца х_i» и «строки y_j», указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение (х_i, y_j).

 

Так как события (Х= х_i,Y= y_j) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы равна единице.

 

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х= х₁,Y= y₁), (Х= х₂,Y= y₂),…, (Х= х_n,Y= y_m) несовместны, поэтому вероятность p(x₁) того, что X примет значение x₁ такова:

Таким образом, вероятность того, что X примет значение x₁, равна сумме вероятностей «столбца х_i». В общем случае, для того, чтобы найти вероятность P(Х= х₁), надо просуммировать вероятности столбца х_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность P(Y= y_j).

Ответ №1 Операции над случайными событиями.

1. Ᾱ - читается «не А», означает, что событие А не произошло.

Р(Ᾱ) + Р(А) = 1

2. Сумма двух событий. А + В – читается как «А или В»

Суммой двух случайных событий называется случайное событие, что произойдёт хотя бы одно из двух.

А + В = В + А

А + А = А

А + Ø = А

А + Ω = Ω

Если два случайных события несовместны, то:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

3. Произведение двух случайных событий. А • В – читается как «А и В»

Произведение двух случайных событий называется случайное событие, в котором совпадают оба события.

Независимые события не могут произойти вместе, следовательно = Ø

А • В = В • А

А • А = А

А • Ø = Ø

А • Ω = А

А • (В+С) = АВ + АС

4. Формула сложения вероятностей, когда совместны:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А •В) Не путать с формулой, когда события несовместны!!!

5. А\В – разность событий.

Если событие А наступает, то событие В нет.

В\А = В •