Ответ №16 Нормальный закон распределения.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

1) Функция определена на всей числовой ос

2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции

стремится к нулю.

4) х₁ = а – σ, х₂ = а + σ – точки перегиба.

 

- параметры

 

 

f(x) – плотность распределения.

F(x) –функция распределения. Она равна интегралу от f(x).

Ответ №17 Предельные теоремы теории вероятностей. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

В конце 19 века в теории вероятностей возникло направление исследований, которое получило название: предельные теоремы теории вероятностей. В этом направлении, начало которого было положено нашими соотечественниками П.Л.Чебышевым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым, по сей день ведутся интенсивные исследования. Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две большие группы.

1. Одна группа теорем составляет "закон больших чисел". Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату почти не зависящему от случая (т.е. практически постоянный результат)

2. Вторая группа теорем связана с выяснением вопроса о распределении сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается, и какие условия при этом нужно наложить на сами величины. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению сумм, при которых возникает нормальный закон распределения.

· Центральная предельная теорема

Первый вариант этой теоремы был доказан в 1912 г. А.М.Ляпуновым.

· Интегральная теорема Лапласа.

Пусть X есть число наступлений события в n независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события равнаp|0<p<1|.Тогда при достаточно больших n вероятность того, что событие появится от x₁ до x₂ раз равна:

, где а – Мат. ожидание.

· Неравенство Чебышева.

Каково бы ни было положительное число А вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на А, ограничена сверху величиной D(X)÷a², т.е.

P(|X – M(x)|<a) ≥ 1 – D(x) ÷ a²,где а – какое-то число, которое будет дано.

· Теорема Чебышева.

Пусть наблюдается одна и та же случайная величина X с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X)<∞. Обозначим через X₁,X₂,…,X_n результат первого наблюдения, второго наблюдения и т.д.

При увеличении числа независимых опытов n среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т.е.

- Теорема Чебышева

Применяется, если нужно проделать достаточно много наблюдений случайной величины и вычислить среднее арифметическое наблюденных значений.

· Теорема Бернулли.

Показывается вероятность того, что частота появления случайного события в серии Nиспытаний отклоняется от вероятности Р того события, на определённую величину большую, чем е, стремится к 0.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях собы­тие А состоится число раз, заключенное в границах от а до b включительно (а <b), приближенно равна:

,

где функция Ф (х) определяется равенством

,

1. Функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф (—х) = — Ф(х).

2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая.

3. Предел функции Ф(х) при равен единице.