Точки і прямі на поверхні многогранника

Щоб побудувати точку або пряму на повер­хні многогранника, необхідна така ж побудо­ва на відповідній грані многогранника, яка виконується при розв'язуванні подібних за­дач на площині, заданій плоскою фігурою.

На рис. 6.5 побудовані проекції М₁ і М₂ точ­ки М, що лежить на прямій SB, яка належить площині грані SАВ.

Рис. 6.5

Завдання 14. Побудова проекцій многогранника

Побудувати в двох проекціях епюр прямого многогранника, основа якого розміщена в площині загального положення .

Вигляд многогранника і параметри площини взяти з табл. 6. Многогранник потріб­но розташувати так, щоб бічні грані його не виявились проекційними на жодну з площин проекцій і проекції ребер не проекціювалися розташованими дуже близько одна від одної.

Приклад виконання подано на рис. 6.6.

 

Таблиця 6

Види многогранників: І — трикутна призма; II — чотирикутна призма; III — шестикутна призма; IV — трикутна піраміда; V — чотирикутна піраміда; VI — шестикутна піраміда. Пра­вильний многокутник основи вписується в коло радіуса R = 40 мм.

 

 

Рис. 6.6

 

ТЕМА. КРИВІ ПОВЕРХНІ

7.1. Мета і задачі вивчення теми:

Опанувати методами побудови і аналізу криволінійних поверхонь та навчитися будувати лінії перетину поверхонь площинами.

 

Загальні відомості

1. Основні способи задання поверхні:

а) аналітичний; поверхня розглядається як неперервна двопараметрична (двовимірна) множина точок. Координати точок цієї множи­ни задовольняють деяке рівняння F (х, у,z) = 0 — многочлен n-го степеня. Довільна пряма в за­гальному випадку перетинає поверхню n-го степеня в n точках (справжніх або уявних);

б) кінематичний; поверхня розглядається як неперервна множина положень деякої лінії, що переміщається в просторі за певним законом. Лінії, які утворюють поверхню, називаються твірними. Закон переміщення твірної у прос­торі доцільно задавати нерухомими лініями, які називаються напрямними; ці лінії твірна перетинає в будь-якому своєму положенні;

в) задання поверхні каркасом — множиною ліній, які заповнюють поверхню так, що через кожну точку поверхні проходить одна лінія каркаса. Каркаси поверхонь поділяються на точкові та лінійчаті.

2. Поверхня вважається заданою на крес­ленні, якщо відносно будь-якої точки, заданої на тому ж кресленні, можна однозначно ви­значити, чи належить точка цій поверхні, чи ні.

3. Кожну поверхню вигідно задавати за допомогою визначника—сукупності незале­жних геометричних умов, що визначають цю поверхню в просторі. Визначник складаєть­ся з двох частин: геометричної, в якій зада­ються деякі основні елементи та величини, й алгоритмічної, яка свідчить про характер змі­ни форми твірної і закону її переміщення.

4. Поверхні, твірною яких є пряма лінія, на­зиваються лінійчатими. Нелінійчаті, або криві поверхні утворюються за допомогою криво­лінійних твірних.

5. Усі поверхні можна поділити на розгор-тні й нерозгортні. До розгортних належать ті, які можна розгорнути без деформації — су­містити з площиною так, що всі елементи поверхні зображаються у справжній величині. Нерозгортні поверхні при розгортанні не можна сумістити з площиною.

Перетин поверхонь площиною

1. Лінія перетину многогранника площи­ною визначається або за точками перетину ребер многогранника, або за лініями пере­тину граней многогранника з цією площиною. У першому випадку („спосіб ре­бер”) знаходимо точку перетину прямої з площиною, у другому („спосіб граней”) — визначаємо лінію перетину площин.

2. Многокутник, утворений від перетину многогранника площиною, називається фігу­рою перерізу. Кількість сторін многокутника перерізу дорівнює кількості граней, які пере­тинаються січною площиною.

3. При перетині кривих поверхонь площи­ною в загальному випадку криві лінії утво­рюються шляхом знаходження точок перети­ну твірних поверхні з січною площиною (рис. 7.1). Якщо ж крива поверхня нелінійчата, то для побудови лінії перетину такої поверхні площиною необхідно застосовувати допомі­жні площини (рис. 7.2). Точки шуканої лі­нії знаходять на перетині ліній, по яких допо­міжні січні площини перетинають поверхню і площину. Здебільшого слід користуватися проекційними площинами, оскільки вони пе­ретинають поверхні по лініях, які легко побу­дувати, — прямих і колах.

 

Рис. 7.1 Рис. 7.2