Розв’язування рівнянь і систем рівнянь графічним способом

Розглянемо, як можна використати програмний засіб GRAN1 для графічного розв’язування рівняння з однією змінною. Алгоритм розв’язування даного типу завдань складається з трьох етапів:

1. Побудувати графік залежності.

2. Відмітити на координатній площині точку перетину графіку функції з віссю ОХ.

3. Визначити координати вказівника, які відображаються у верхньому рядку вікна Графік. Це і буде наближеним коренем рівняння.

Отримані у такий спосіб значення є наближеними. Похибка виникає за рахунок того, що переміщення вказівника на Робочому полі має свій крок.

 

Рис. 1.11. Отримання наближеного значення кореня рівняння

Розглянемо графічне розв’язання рівнянь з однією змінною на прикладі.

Задача 2. Розв’язати рівняння х³–2х+6 = 0 графічним способом.

Для цього потрібно виконати таку послідовність дій:

1. Запустити програму GRAN1.

2. Вибрати у вікні Список об’єктів тип залежності Явна: Y=Y(X).

3. Вибрати у меню Об’єкт команду Створити.

4. Увести в поле Y(X)= діалогового вікна Введення виразу залежності вираз X^3-2*X+6 ( рис. 1.10);

5. Вибрати у меню Графік команду Побудувати графік. На екрані у вікні Графік отримаємо графік уведеної функції.

6. Виконати Графік Þ Список точок на графіку Þ Запис.

7. Встановити вказівник послідовно в точки перетину графіка функції з віссю ОХ (рис. 1.11).

8. Визначити наближене значення кореня рівняння, яке відображається у нижній частині вікна Графік.

Відповідь: Х = -2,149.

Якщо точок перетину графіка з віссю ОХ буде кілька, то рівняння матиме кілька розв’язків, які і будуть відображені в таблиці значень у вікні Графік під координатною площиною.

 

Для системи рівнянь алгоритм знаходження наближеного розв’язку виглядатиме так:

1. Побудувати графіки кожного з рівнянь системи.

2. Відмітити на координатній площині точки перетину побудованих графіків.

3. Визначити координати вказаних точок.

Задача 3. Розв’язати систему рівнянь графічним способом.

Для цього слід виконати:

1. Запустити програму GRAN1.

2. Вибрати у вікні Список об’єктів тип залежності Неявна: 0=G(Y,X).

3. Вибрати у меню Об’єкт команду Створити.

4. Увести в поле діалогового вікна Введення виразу залежності вираз X+3*Y-9.

5. Вибрати у меню Графік команду Побудувати графік.

6. Вибрати у вікні Список об’єктів тип залежності Неявна: 0=G(Y,X).

7. Вибрати у меню Об’єкт команду Створити.

8. Увести в поле діалогового вікна Введення виразу залежності вираз 2*X-Y-4.

9. Вибрати у меню Графік команду Побудувати графік.

10. Виконати Графік => Список точок на графіку => Запис.

11. Вибрати вказівником точку перетину графіків функцій (рис. 1.12).

12. Визначити координати точки перетину у вікні Графік.

Відповідь: (3,005; 2,016).

Рис. 1.12. Графічний розв’язок системи рівнянь

 

Для тих, хто хоче знати більше

Розв’язання найпростіших задач з планіметрії з використанням GRAN1

Розглянемо використання програмного засобу Gran1 для розв’язання геометричної задачі.

Задача 4. Визначити вид чотирикутника ABCD, який заданий координатами вершин A(1; 1), B(2; 3), C(0; 4), D(-1; 2).

Щоб розв’язати дану задачу з використанням програми GRAN1, потрібно виконати таку послідовність дій:

1. Запустити програму GRAN1.

2. Вибрати у вікні Список об’єктів тип залежності Ламана.

3. Вибрати у меню Об’єкт команду Створити.

4. Увести в діалоговому вікні Координати вершин ламаної (рис. 1.13) координати вершин чотирикутника і вибрати кнопку OK.

5. Вибрати у меню Графік команду Побудувати графік.

6. Виміряти по черзі довжини сторін та діагоналей, виконавши Операції Þ Операції з ламаними Þ Довжина ламаної..

У вікні Графік отримали побудований чотирикутник, а в результаті вимірювання у вікні Відповіді (рис. 1.14) отримали такі значення: всі сторони чотирикутника дорівнюють 2.236 лінійних одиниць, діагоналі дорівнюють 4.472 лінійні одиниці. Отже, заданий чотирикутник є квадратом.

Рис. 1.14. Розв’язування задачі з геометрії з використанням програми GRAN1

 

Перевірте себе

1. ° Які типи залежностей між змінними використовуються в GRAN1?

2. ° Скільки графіків одночасно можна побудувати в GRAN1?

3. ° Як очистити вікно Графік?

4. · Наведіть алгоритм побудови графіка функції.

5. · Наведіть алгоритм побудови графіка рівняння.

6. ° Які дослідження функції можна здійснити на основі її графіка?

7. · Поясніть, як визначити нулі функції? Екстремуми функції?

8. · Наведіть загальний алгоритм розв’язування рівняння графічним способом.

9. · Наведіть загальний алгоритм розв’язування системи рівнянь графічним способом.

10. · Роз’ясніть, чому розв’язок рівняння чи системи рівнянь графічним способом і аналітичним відрізняються між собою.

 

Виконайте завдання

1. · Побудуйте графік функції з використанням одного з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

2. ·Побудуйте послідовно графіки наступних функції Y = │х│, Y = │х + 1│, Y = │х│+ 1. Поясніть, як змінюється графік функції та його розташування.

3. (ДЗ) Побудуйте послідовно графіки наступних функції Y= sinx, Y=2sinx, Y=sin2x, Y=sin(x+2). Поясніть, як змінюється графік функції та його розташування при зміненні коефіцієнтів.

4. ·Побудуйте графік функції у = |х³| + х+ 7, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1. Дослідіть функцію на основі графіка за планом і запишіть відповіді у зошиті

1) Парність, непарність

2) Нулі функції.

3) Проміжки знакосталості: а) Y > 0, б) Y < 0.

4) Точки екстремумів.

5) Екстремуми.

6) Проміжки зростання і спадання: а) Зростає, б) Спадає.

5. · Розв’яжіть рівняння графічним способом, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

6. * Розв'яжіть систему рівнянь графічним способом, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

7. * (ДЗ) Розв’яжіть задачу, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1. Дано точки: A(0; 1), B(1; 0), C(1; 2), D(2; 1). а) Доведіть рівність довжин векторів AB і CD. б) Доведіть рівність довжин векторів AС і ВD.

8. * (ДЗ) Побудуйте графіки функцій, заданих параметрично, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1:

а) коло: X=10cosT, Y=10sinT;

б) равлик Паскаля: X=5cos²T+3cosT, X=5cosTsinT+3sinT.

 

Практична робота №2

«Побудова графіків функції та їх аналіз»

Увага! Під час роботи з комп’ютером дотримуйтеся правил безпеки та санітарно-гігієнічних норм.

1. · Побудуйте графіки наступних функцій, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

а) Y=2sin(x)	б) Y=2x,	в) Y=| |x-1|-|x-2| |
г) Y= cos2x	д)	е) Y=(1+x)^x

2. · Дослідіть функції а)-в) завдання №1 за їх графіками згідно плану:

1) Парність, непарність

2) Нулі функції.

3) Проміжки знакосталості: а) Y > 0, б) Y < 0.

4) Точки екстремумів.

5) Екстремуми.

6) Проміжки зростання і спадання: а) Зростає, б) Спадає.

Практична робота № 3

«Знаходження наближених значень розв’язків рівнянь та їх систем»

Увага! Під час роботи з комп’ютером дотримуйтеся правил безпеки та санітарно-гігієнічних норм.

1. · Знайдіть наближені розв’язки рівнянь графічним способом, використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

а) Y = х^2 – 4│х│ + 3

б)

в)

2. * Знайдіть наближені розв’язки системи рівнянь графічним способом використавши один з математичних процесорів, наприклад, Gran1.

а) 3x-7y=9 5x+13y=7

б) 3x^2-4y^3=12 2x^3-5y^2=8

в) x+y=1 |xy|=1/2

г) x+y+1=0 sin(x+y)=0