Аналітична кінематика механізмів

Розглянуті раніше графічні та графоаналітичні методи дослідження кінематики прості і наочні, але не завжди забезпечують достатню точність розрахунків, крім того ці методи обмежують можливість використання ЕОМ з метою оптимізації розрахунків.

Суть аналітичного методу полягає в тому, що такі кінематичні параметри як: лінійна та кутові координати (переміщення), швидкості і прискорення виражають у вигляді математичних залежностей (аналітичних виразів).

В основу аналітичної кінематики механізмів покладено метод Зінов’єва, згідно з яким всякий механізм, що складається із замкненого кінематичного ланцюга з нижчими парами, можна зобразити у вигляді замкненого векторного контуру або системи замкнутих векторних контурів, замінивши умовно ланки механізму векторами.

За початок векторного контуру зручніше приймати нерухому точку (стояк). Кожен вектор має початком та кінцем кінематичні пари, в які входять ланки. Модуль вектора може бути як постійним, так і змінним. Напрямок кожного вектора визначається кутом, що відраховується проти годинникової стрілки від ліній, яка паралельна осі х обраної системи координат і проведена через початок відповідного вектора. Знак вектора приймається плюс, якщо напрям вектора збігається з напрямом обходу контуру за годинниковою стрілкою.

Умову замкненості векторних контурів можна записати

або , (2.2.12)

де m – кількість ланок механізму, k та n – кількість ланок, які складають окремі замкнені контури в загальній системі, причому

.

Якщо в рівняннях (2.2.12) більше трьох складових, необхідно ввести допоміжні фіктивні вектори, поділивши векторні многокутники на трикутники. Це значно полегшує вирішення задачі.

Векторні рівняння можуть бути записані в проекціях на осі координат або представлені в іншому вигляді, наприклад

, (2.2.13)

де - одиничні вектори – орти векторів які в загальному вигляді можна представити через вектори-орти та прямокутної системи координат

. (2.2.14)

Положення центрів ваги ланок або інших їх точок визначаються радіус-векторами, початок яких приймають в полюсі обраної системи координат і складовими яких є вектори замкнених многокутників, або їх частин:

. (2.2.15)

В проекціях на осі координат рівняння (2.2.15) набуває вигляду:

; , (2.2.16)

де = cos , .

Аналітичне досягнення механізмів зручно виконувати з використанням аналогів швидкостей і прискорень або передаточних функцій,оскільки для даної кінематичної схеми механізму останні залежать тільки від узагальненої координати і не залежать від закону руху вихідної ланки. Це означає, що кінематичні дослідження можна виконувати лише геометричними методами.

Передаточною функцією називають відношення кутової швидкості ланки, або швидкості ланки, або проекції швидкості точки на ту чи іншу вісь до узагальненої швидкості. Якщо прийняти в механізмі за узагальнену координату кут , що визначає положення ведучої ланки (при W=1), то є узагальнена швидкість.

Припустимо, що ланка m здійснює обертальний рух, а ланки n i k – поступальний рух, який описується координатами q_n, q_k.

Тоді передаточні функції мають вигляд:

. (2.2.17)

Передаточна функція може бути як безрозмірною (наприклад U_m1), так і мати розмірність (V_qn1, V_qkx…) в залежності від того, який рух здійснює ведуча ланка, передаточні функції мають розмірність довжини (м) при обертальному русі ведучої ланки, або кривизни (1/м) при її поступальному русі.

Приймаючи до уваги, що

; ; ,

можна також записати передаточні функції у вигляді:

; ; , (2.2.18)

де - частинні похідні різних координат або їх проекцій по узагальненій координаті . Інакше їх ще називають аналогами швидкостей.

Диференціюючи рівняння (2.2.13) і (2.2.14) по координаті отримаємо

, (2.2.19)

де , , ,

,

або . (2.2.20)

Для зручності аналітичних розрахунків кінематики механізмів нагадаємо деякі основні відомості з векторної алгебри:

(2.2.21)

(2.2.22)

 

. (2.2.23)

Тоді, помноживши рівняння (2.2.19) на одиничний вектор-орт , отримаємо:

,

або, приймаючи до уваги (2.2.22)

.

Звідки

, де (2.2.24)

Аналогічно помноживши рівняння (2.2.19) на і прийнявши до уваги (2.2.22) отримаємо:

або

.

Звідки

. (2.2.25)

Продиференціюємо рівняння (2.2.16) по узагальненій координаті і отримаємо:

(2.2.26)

Таким же чином можна визначити передаточні функції для будь-яких ланок та точок механізму.

Отримавши передаточні функції, легко визначати швидкості та прискорення.

Кутові та лінійні швидкості:

(2.2.27)

Диференціюючи рівняння (2.2.27), отримаємо:

 

 

Тоді кутові та лінійні прискорення:

(2.2.28)

де - частинні похідні передаточних функцій по узагальненій координаті. Інакше їх ще називають аналогами прискорень.

Якщо , тоді

.

Розглянемо деякі приклади аналітичної кінематики механізмів другого класу.

Приклад 2.2.1 Задана кінематична схема чотириланкового шарнірно-го механізму (рисунок 2.8,а). Кутову швидкість кривошипа прийняти . Отримати аналітичні залежності для визначення кінематичних параметрів руху його ланок.

Зображаємо механізм у вигляді векторного многокутника (рисунок 2.8,б).

а) б)

Рисунок 2.8 – Чотириланковий механізм

Нанесемо певним чином на ланки групи вектори, які утворюють замкнений контур. Запишемо умову замкненості контуру:

. (2.2.29)

За початок координат осей x, y приймаємо нерухому точку О, причому вісь х проведемо через іншу нерухому точку О₁. Напрям всіх кутів, що визначають положення ланок, відкладаємо від позитивного напрямку осі х.

Для визначення функції положення введемо додатковий вектор L_ф та три кути g₁, g₂ і g₃, які лежать в трикутниках проти відповідних ланок. Довжина додаткового вектора

. (2.2.30)

Кути g_і теж визначаємо за теоремою косинусів:

(2.2.31)

Для 0<j₁<p (рисунок 2.8, а): j₁₌g₃ - g₁; j₃ = p - g₁ - g_2. Для p<j₁<2p (рисунок 2.8, б): j₂₌g₃ + g₁; j₃ = p + g₂ - g_1.

Положення центра ваги ланки 2 визначаємо через радіус-вектор :

або . (2.2.32)

З врахуванням залежності (2.2.14) векторне рівняння (2.2.32) в проекціях на осі набуває вигляду:

(2.2.33)

Таким же чином можна визначити функції положення для точок S₃ та інших точок ланок механізму.

Для визначення передаточних функцій (аналогів кутових швидкостей) запишемо рівняння (2.2.27) у іншому вигляді:

, (2.2.34)

та продиференціюємо його по узагальненій координаті j₁. Отримаємо:

. (2.2.35)

Домножуючи це рівняння спочатку на , потім на (див. (2.2.34) і (2.2.24)), отримаємо:

. (2.2.36)

Продиференціюємо рівняння (2.2.32) по узагальненій координаті j₁. Отримаємо:

(2.2.37)

Таким же чином можна визначити передаточні функції і для інших ланок механізму.

Приклад 2.2.2. Аналогічну задачу розв’яжемо для кривошипно-повзунного механізму. Зображаємо цей механізм у вигляді векторного замкненого многокутника (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 – Кривошипно-повзунний механізм

 

Запишемо умову замкненості контуру:

або . (2.2.38)

В проекціях на осі координат x і y рівняння (2.2.38) набуває вигляду:

; (2.2.39)

. (2.2.40)

З рівняння (2.2.39) маємо:

. (2.2.41)

Рівняння (2.2.39) визначає функцію положення ланки 3 (x₃=L₃).

Продиференціюємо рівняння (2.2.40) по узагальненій координаті. Отримаємо:

(2.2.42)

(2.2.43)

Продиференціюємо рівняння (2.2.39) по узагальненій координаті:

(2.2.44)

Для точок S₂ і інших функції положення та передаточні функції визначаємо аналогічно наведеному прикладу 2.2.1.

Приклад 2.2.3 Розглянемо кулісний механізм та зобразимо його у вигляді замкненого векторного контуру (рисунок 2.10).

 

Рисунок 2.10 – Кулісний механізм

Запишемо умову замкненості векторного контуру, утвореного ланками групи, з врахуванням розміщення початку системи координат:

(2.2.45)

Вектор змінний і визначає положення повзуна відносно куліси О₁В. Довжина цього вектора

(2.2.46)

В проекції на вісь х рівняння (2.2.45) набуває вигляду:

Звідси: (2.2.47)

Використавши одиничні орти, запишемо рівняння (2.2.45) у іншому вигляді:

.

і продиференціюємо його по узагальненій координаті :

(2.2.48)

Щоб отримати аналоги швидкості (передаточні функції) домножимо рівняння (2.2.48) спочатку на вектор і отримаємо:

Тоді:

(2.2.49)

Перемножуючи рівняння (2.2.48) на вектор , маємо:

Тоді:

(2.2.50)

Аналітичне дослідження кінематики механізмів в деяких випадках зручно виконувати з використанням методу перетворення координат, який досить детально описано у посібнику [10].

Розглянемо один із прикладів використання цього методу.

 

Приклад 2.2.4. Для заданого шестиланкового кулісного механізму поперечно-стругального верстата (рисунок 2.11) одержати аналітичні залежності для визначення кінематичних параметрів руху його ланок. Кутову швидкість кривошипа прийняти w₁=const.

При кінематичному дослідженні такого механізму аналітичним методом розглянемо два векторні контури: OAB і BCDF, для яких запишемо векторні рівняння:

 

(2.2.51)

(2.2.52)

де

Параметри - сталі і задані, - змінні і підлягають визначенню.

Розглянемо спочатку перший векторний контур ОАВ і запишемо рівняння (2.2.51) у проекціях на координатні осі xBy:

(2.2.53)

Поділивши друге рівняння системи (2.2.53) на перше, визначимо кут з рівняння:

(2.2.54)

Кут може змінюватися в межах - , якщо , і , якщо . Тоді положення ланки 2 знаходимо із першого рівняння системи (2.2.53) за формулою:

(2.2.55)

Продиференціюємо рівняння (2.2.53) по узагальненій координаті :

(2.2.56)

де - аналог відносної швидкості повзуна 2 відносно куліси 3; - аналог кутової швидкості куліси 3.

Повернувши систему координат на кут (), з першого рівняння системи (2.2.56) знайдемо:

(2.2.57)

з другого рівняння:

(2.2.58)

Для визначення аналогів прискорень диференціюємо рівняння (2.2.56) по узагальненій координаті :

2.2.59)

де – аналог відносного прискорення повзуна 2 відносно куліси 3; - аналог кутового прискорення куліси 3.

Повернувши систему координат на кут () з першого рівняння системи (2.2.59) знайдемо:

(2.2.60)

з другого рівняння:

(2.2.61)

Розглянемо другий векторний контур BCDF. Запишемо рівняння (2.2.52) в проекціях на координатні осі xBy:

(2.2.62)

З першого рівняння системи (2.2.62) знаходимо положення ланки 5, яке визначається параметром , а з другого відрізок

(2.2.63)

Продиференціюємо рівняння (2.2.61) по узагальненій координаті :

(2.2.64)

де , - аналоги лінійних швидкостей відносно точки D (ланки 5) і відносної швидкості ланки 5 відносно ланки 4.

Для визначення аналогів прискорень диференціюємо рівняння (2.2.63) по узагальненій координаті :

(2.2.65)

де , - аналоги лінійних прискорень відносно точки D і ланки 5 відносно ланки 4.

Для визначення дійсних швидкостей і прискорень використаємо залежності, згідно з якими:

(2.2.66)

де - відповідно кутова швидкість і кутове прискорення куліси 3; і - швидкість і прискорення ланки 2 відносно ланки 3; - відносна швидкість і прискорення ланки 3 відносно ланки 4 (точка А₃ належить кулісі 3 і збігається з точкою А, яка належить ланкам 1 і 2; точка С₅ – належить ланці 5 і збігається з точкою С₄, яка належить ланці 4).

Початковим (нульовим) значенням кута приймаємо таке положення кривошипа ОА, коли він перпендикулярний до куліси 3, а значить

, (2.2.67)

де кут - половина кута розмаху куліси, визначається з трикутника ОА₀В за формулою

(2.2.68)

Переміщення S_D повзуна 5 (точки D), виміряне від крайнього правого положення D₀, визначається з формулою

(2.2.69)

де .

Вибравши систему координат , визначаємо координати точки А:

. (2.2.70)

Проекції аналогів швидкостей і прискорень цієї ж точки на координатні осі х і у мають вигляд:

 

;

, ^(2.2.71)

де , – перші і другі похідні від координати А по узагальненій координаті .

На підставі одержаних залежностей (2.2.53 – 2.2.71) можна скласти програму обчислення кінематичних параметрів на ЕОМ.