Расчет безотказности систем с постоянным резервированием

 

 

Пусть имеется конечное число n элементов, составляющих нагруженный резерв (рис.7). При отказе основного элемента включается первый резервный, при отказе которого начинает работать следующий резервный элемент, и т.д. При отказе всех элементов возникает отказ системы. При этом считаем, что переключатель элементов абсолютно надежен.

Рис. 7

Если система работает до первого отказа и отказы всех элементов не зависимы, то результирующая вероятность отказа системы определятся как вероятность совпадения отказов n элементов в течение расчетного времени t

Q_c = Q_c(t)= Q₁(t), …, Q_n(t)= ∏ Q_i(t) =∏(1- P_i(t))

• вероятность безотказной работы (ВБР):

P_c= P_c(t) =1- Q_c(t) =1-∏ Q_i(t) =1-∏(1- P_i(t))

• математическое ожидание (МО) наработки до отказа:

T_0c=M{T₀}=∫ P_c(t)dt = ∫{1-∏(1- P_i(t)) }dt

 

Для системы с экспоненциальной наработкой до отказа каждого из n элементов:

P_i(t) = exp(- _i t),

 

показатели безотказности:

 

 

Таким образом, при нагруженном резервировании экспоненциальное распределение наработки до отказа не сохраняется.

На практике чаще встречается смешанное (параллельно – последовательное) соединение элементов. Рассмотрим наиболее характерные случаи таких соединений.

В первом случае (общее резервирование с постоянно включенным резервом и целой кратностью) система состоит из «к» параллельных цепочек по «n» блоков в каждой цепочке, при этом 1-ая цепочка является основной, а (k-1) цепочек являются резервными. Обозначим через "q" вероятность отказа одного элемента и предположим для простоты расчета, что все элементы равнонадежны (рис.8).

 

Рис.8

 

Тогда вероятность отказа системы с общим резервированием Q_с будет равна

Q_c = [1-(1-q)ⁿ]^k (1)

 

ВБР системы составит

P_с(t) = 1 – Q_с(t) = 1- [1-(1-q)ⁿ]^k

 

В другом случае (схема с раздельным резервированием с постоянно включенным резервом и целой кратностью) резервируется каждый из n элементов схемы, а не цепочка в целом (рис.9).

 

 

Рис.9

 

В этом случае вероятность отказа системы Q_с при тех же значениях вероятности отказа каждого элемента будет равна

Q_c = 1-(1-q^k)ⁿ (2)

ВБР системы составит

P(t) = 1 – Q_р(t) = 1 - [1-(1-q^k)ⁿ]

 

 

На основании полученных формул можно сделать заключение, что в рассматриваемом случае применение раздельного резервирования взамен общего дает выигрыш в безотказности

Расчеты показывают, что всегда раздельное резервирование выгоднее общего резервирования. Деление основной системы на возможно большее число участков резервирования ведет к большему выигрышу в безотказности. Увеличивая кратность резервирования, можно получить системы, имеющие достаточно высокий уровень безотказности.

 

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА

НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ

Представляя связи между элементами схемы электроснабжения в виде последовательного и параллельного их соединения, можно описать отключе-

Ние потребителей как из-за отказов элементов питающей цепи, так и из-за совпадения отказов элементов одной цепи с ремонтами элементов другой цепи. Кроме того, можно, составляя расчетные схемы для разных видов отключений, учесть различную их длительность. Поэтапное эквивалентирование расчетной схемы из последовательно и параллельно соединенных элементов позволяет оценить показатели надежности схемы электроснабжения: частоту и длительность отключений различных потребителей.

Основные положения этого метода сводятся к следующему:

1. Перерывы электроснабжения в зависимости от продолжительности отключений делятся на длительные, связанные с ремонтно – восстановительными работами, и кратковременные, ликвидируемые путем оперативных переключений в схеме.

2. Перерывы электроснабжения, ликвидируемые действием АПВ и АВР, не учитываются. Устройства релейной защиты считаются действующими безотказно.

3. Расчетные схемы для всех видов отключений составляются отдельно для каждого потребителя или (и) групп потребителей.

4. Расчетные схемы для кратковременных отключений содержат только элементы, отказ которых вызывает немедленное автоматическое отключение данного потребителя или группы потребителей действием устройств релейной защиты. В расчетной схеме эти элементы соединяются в последовательную цепь, т.е. отказ элемента приводит к отказу всей цепи.

5. Расчетные схемы для длительных отключений содержат как последовательные, так и параллельные цепи и включают в себя источники питания, линии электропередачи, трансформаторы, сборные шины и коммутационные аппараты.

6. При эквивалентировании параллельных цепей необходимо учитывать возможность совпадения отказов элементов одной цепи с аварийными и плановыми отключениями другой. Если число параллельных цепей больше двух, то они могут быть выведены из расчетной схемы по причине малой вероятности отказов трех и более цепей одновременно.

7. В том случае, когда параллельные цепи на своем протяжении имеют перемычку (в виде линий, секционных или шиносоединительных выключателей подстанций распределительных сетей), расчетные схемы для кратковременных и длительных отключений приходится составлять для режимов с включенной перемычкой (считая ее абсолютно надежной) и с отключенной перемычкой (считая ее находящейся в плановом или аварийном ремонте). Показатели надежности оцениваются в этом случае для каждого режима отдельно с учетом его относительной длительности. При числе перемычек более двух расчет по указанной методике значительно усложняется. В этом случае более предпочтительно применение других методов расчета показателей надежности.

Для электроэнергитических установок коэффициент простоя приближенно можно определять по выражению

q_ав = ∑λ_iτ_i

Коэффициент планового простоя

q_пл = λпл _* τ_пл

Рассмотрим передачу, состоящую из двух параллельных цепей, каждая из которых может находится в работоспособном состоянии, аварийном простое и в профилактике. Число состояний такой передачи равно восьми:

1-е – обе цепи в работоспособном состоянии;

2-е и 3-е – одна цепь в аварийном простое, другая в работоспособном состоянии;

4-е и 5-е – одна цепь а профилактике, другая в работоспособном состоянии;

6-е и 7-е - одна цепь а профилактике, другая в аварийном простое;

8-е – обе цепи в аварийном простое.

Для определения вероятностей нахождения передачи в этих состояниях запишем:

(Р ₁ + q _ав1 +q_пл1) ( Р ₂ + q _ав2 +q_пл2) = 1,

где – Р₁;Р₂ – вероятность нахождения в работоспособном состоянии; q _ав1;q _ав2 – коэффициенты аварийного простоя; q_пл1;q_пл2 - коэффициент планового простоя каждой из цепей.

После умножения получим:

 

Р₁Р₂ +Р₁ q _ав2 + Р₂ q _ав1 + Р ₁q_пл2 + Р ₂q_пл1 + q_пл1q _ав2 + q_пл2q _ав1 + q _ав1q _ав2 + q_пл1q_пл2 = 1

Плановое отключение двух цепей в обычных условиях не производится, тогда q_пл1q_пл2 = 0

Первый член полученного произведения равен вероятности нахождения обеих цепей в работоспособном состоянии, второй – второго состояния и т.д. Для определения вероятности состояния q _1/2 при которомв работе остаетсятолько одна цепь, достаточно сложить второй, третий, четвертый и пятый члены произведения:

q _1/2 = Р₁ q _ав2 + Р₂ q _ав1 + Р ₁q_пл2 + Р ₂q_пл1

что при равнонадежных цепях дает

q _1/2 = 2Р(q _ав +q_пл)

Для определения вероятности состояния q _2/2 , при котором в работе не остается ни одной цепи, достаточно сложить шестой, седьмой и восьмой члены:

q _2/2 = q_пл1q _ав2 + q_пл2q _ав1 + q _ав1q _ав2

что при равнонадежных цепях дает

q _2/2 = 2q_плq _ав +q ²_ав