Лей надежностей систем с восстановлением

 

При экспоненциальном законе распределения времени восстановления и времени между отказами для расчета показателей надежности систем с восстановлением используют математический аппарат марковских случайных процессов. В этом случае функционирование систем описывается процессом смены состояний. Система изображается в виде графа, называемого графом переходов из состояния в состояние.

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t₀ вероятность состояния системы в будущем (t > t₀) зависит только от состояния в настоящем

(t = t₀) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса - прошлого).

 

t < t0

t > t0

 

 

Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S₁ , S₂ , …, S_n, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

При составлении модели введены допущения:

- отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

- отсутствуют ограничения на число восстановлений;

- если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S₁ , S₂ , …, S_n.

 

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний, в которой

а) кружки (вершины графа S₁ , S₂ , …, S_n)– возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния S_i в другое S_j.

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

 

 

 

S0 – работоспособное состояние;

S1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

- исправное состояние продолжается;

- состояние отказа продолжается.

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S₁, S₂ , …, S_n. Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

 

P1(t), P2(t), …, P_i(t), …, Pn(t),

 

где P_i(t) – вероятность нахождения системы в момент t в i -м состоянии.

 

Очевидно, что для любого t

 

(1)

 

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S₁ , S₂ , …, S_n нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Рассмотрим элемент установки или саму установку без резервирования, которые могут находится в двух состояниях: S₀-безотказное (работоспособное), S₁- состояние отказа (восстановления).

Определим соответствующие вероятности состояний элемента Р₀ (t): P₁ (t) в произвольный момент времени t при различных начальных условиях. Эту задачу решим при условии, как ужу отмечалось, что поток отказов простейший с λ = const и восстановлений μ = const, закон распределения времени между отказами и времени восстановления – экспоненциальный.

Для любого момента времени сумма вероятностей P₀ (t) + P₁ (t) = 1 – вероятность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдем вероятность P (t + ∆t) того, что в момент времени t + ∆ t элемент находится в работе. Это событие возможно при выполнении двух условий.

1. В момент времени t элемент находился в состоянии S₀ и за время t не произошло отказа. Вероятность работы элемента определяется по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент t элемент был и состоянии S₀, равна P₀ (t). Вероятность того, что за время t он не отказал, равна е^-λ∆t. С точностью до величины высшего порядка малости можно записать

 

Поэтому вероятность этой гипотезы равна произведению P₀ (t) (1- λ∆ t).

2. В момент времени t элемент находится в состоянии S₁ (в состоянии восстановления), за время ∆t восстановление закончилось и элемент перешел в состояние S₀. Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент времени t элемент находился в состоянии S₁, равна Р₁ (t). Вероятность того, что восстановление закончилось, определим через вероятность противоположного события, т.е.

 

1 – е^-μ∆t=μ·∆t

Следовательно, вероятность второй гипотезы равна P₁(t)·μ·∆t/

Вероятность рабочего состояния системы в момент времени (t + ∆t) определяется вероятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипотиз:

 

P₀(t+∆t)=P₀(t) (1-λ∆t)+P₁(t)·μ∆t

Разделив полученное выражение на ∆t и взяв предел при ∆t → 0, получим уравнение для первого состояния

 

dP₀(t)/dt=-λP₀(t)+μP₁(t)

 

Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния элемента – состояния отказа (восстановления), можно получить второе уравнение состояния

 

dP₁(t)/dt=-μP₁(t)+λP₀(t)

 

Таким образом, для описания вероятностей состояния элемента получена система двух дифференциальных уравнений, граф состояний которого показан на рис.2

 

d P₀(t)/dt = - λP₀(t)+ μP₁(t)

dP₁(t)/dt = λP₀(t) - μP₁(t)

 

 

Если имеется направленный граф состояний, то систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний Р_К (к = 0, 1, 2,…) можно сразу написать, пользуясь следующим правилом: в левой части каждого уравнения стоит производная dP_К (t)/dt, а в правой – столько составляющих, сколько ребер связано непосредственно с данным состоянием; если ребро оканчивается в данном состоянии, то составляющая имеет знак плюс, если начинается из данного состояния, то составляющая имеет знак минус. Каждая составляющая равна произведению интенсивности потока событий переводящего элемент или систему по данному ребру в другое состояние, на вероятность того состояния, из которого начинается ребро.

Систему дифференциальных уравнений можно использовать для определения ВБР электрических систем, функции и коэффициента готовности, вероятности нахождения в ремонте (восстановлении) нескольких элементов системы, среднего времени пребывания системы в любом состоянии, интенсивности отказов системы с учетом начальных условий (состояний элементов).

При начальных условиях Р₀ (0)=1; Р₁ (0)=0 и (Р₀ +Р₁ =1), решение системы уравнений, описывающих состояние одного элемента имеет вид

P₀(t) = μ/ (λ+μ)+ λ/(λ+μ)*e^ -(λ+μ)t

 

Вероятность состояния отказа P₁(t)=1- P₀(t)= λ/(λ+μ)- λ/ (λ+μ)*e^ -(λ+μ)t

 

 

Если в начальный момент времени элемент находился в состоянии отказа (восстановления), т.е. Р₀ (0)=0, Р₁ (0)=1, то

P₀(t) = μ/ (λ+μ)+ μ/(λ+μ)*e^ -(λ+μ)t

 

P₁(t) = λ/(λ+μ)- μ/ (λ+μ)*e^ -(λ+μ)t

 

 

Обычно в расчетах показателей надежности для достаточно длительных интервалов времени (t ≥ (7-8)t_в) без большой погрешности вероятности состояний можно определять по установившимся средним вероятностям -

Р₀(∞) = К_Г = Р₀ и

Р₁ (∞) = К_П =Р₁.

Для стационарного состояния (t→∞) P_i(t) = P_i = const составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку в этом случае dP_i(t)/dt = 0. Тогда система алгебраических уравнений имеет вид:

 

 

 

Так как Кг есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P₀ = Кг.,т.е вероятность работы элемента равна стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа – коэффициенту вынужденного простоя:

lim P₀(t) = Кг = μ/(λ+μ) = T/(T+t_в)

 

lim P₁(t) = Кп = λ /(λ+μ) = t_в/(T+t_в)

 

 

т.е., получился тот же результат, что и при анализе предельных состояний с помощью дифференциальных уравнений.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности μ выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений:

 

 

При начальных условиях: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0, используя преобразование Лапласа вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t составит: