Классификация факторов и связь между отдельными видами факторов

Задачей факторного анализа является определение матрицы А. Матрица А называется факторным отображением или факторной матрицей, а ее элементы а_ij – факторными нагрузками.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Факторная матрица – это матрица, столбцы которой состоят из нагрузок данного фактора на все переменные данной совокупности а строки – из факторных нагрузок данной переменной.

При ортогональных факторах, которые мы до сих пор исключительно и рассматривали, элементы принимают значения между -1 и + 1. Если факторы не ортогональны, то элементы могут принимать большие значения. Здесь мы ограничимся только этим замечанием.

Каждый фактор характеризуется столбцом, каждая переменная – строкой матрицы А. Если факторная нагрузка значительно больше или меньше нуля, то принята упрощенная форма записи в виде крестика (X) в соответствующем месте факторного отображения (рис.8). Выражение «значительно больше или меньше нуля» здесь означает не ¹0в математическом смысле, обычно это значение по абсолютной величине превосходящее 0,3 или 0,4. При этом всеми другими нагрузками этого фактора пренебрегают, т. е. факторное отображение упрощается.

факторы

А B C U₁ U₂ U₃ U₄ U₅ U₆ U₇ U₈

´	´		´
´	´			´
´	´				´
´	´	´				´
´	´	´					´
´		´						´
´		´							´
´		´								´

Общие характерные факторы

факторы

Генеральный фактор

 

Рис. 8. Схематическое изображение факторной матрицы

 

Фактор называется генеральным ( general factor ), если все его нагрузки значительно отличаются от нуля. Следовательно, он имеет нагрузки от всех переменных и схематически такой фактор изображается столбиком А на рис. 4. Фактор называется общим, {common factor ), если хотя бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля. Столбики А, В, С на рис. 8 представляют такие общие факторы. Они имеют нагрузки от двух и более переменных. Они могут взаимно перекрываться, т. е. одни и те же переменные могут давать нагрузки на несколько факторов. Генеральный фактор является частным случаем общих факторов, так как он имеет более двух значимых нагрузок.

В противоположность этому факторы являются индивидуальными, если у них только одна нагрузка значительно отличается от нуля (см. столбики U₁ – U₈ на рис.8). В этом случае говорят о характерных факторах {unique factors ), которые представляют только одну переменную.

По аналогии с факторами можно провести классификацию переменных по числу достаточно высоких нагрузок. Число высоких нагрузок переменной на общие факторы называется ее сложностью {complexity }. Например, переменная 1 на рис. 8 имеет сложность два, переменная 4 – три.

Итак, столбец факторной матрицы характеризует фактор и его влияние на все переменные. Строка характеризует переменную и ее наполненность различными факторами – сложность и факторную структуру переменной.

Решающее значение в факторной матрице на рис.8 имеют общие факторы – А, В, С. Характерные факторы получаются автоматически, если общие факторы установлены.

Важнейшие понятия ФА, связанные с дисперсией

В факторном анализе используется ряд понятий и зависимостей, тесно связанных с дисперсией. Анализируется дисперсия переменных, представленных в факторной матрице.

Дисперсия – это квадрат стандартного отклонения о². В широком смысле дисперсия представляет собой один из показателей вариации или рассеивания.

В факторном анализе необходимо различать отдельные компоненты дисперсии.

Полная (единичная) дисперсия переменной раскладывается на отдельные компоненты, которые представляют собой квадраты факторных нагрузок. Для наглядности это разложение графически представлено на рис.9.

Суммы квадратов нагрузок общих факторов и называютсяобщей дисперсиейили общностью (commonality) h_i². Общность представляет собой ту часть единичной дисперсии переменной, которая коррелирует с другими переменными – является общей для ряда переменных, то есть которую можно приписать общим факторам. Она равна квадрату коэффициента множественной корреляции между переменной и общими факторами.

Если из 1 вычесть h_i², то останется доля дисперсии, обозначаемая u_i², которая соответствует квадрату нагрузки определенного характерного фактора и называется характерностью. Она представляет собой часть единичной дисперсии переменной, которая не связана с общими факторами.

Характерность u_i²можно разбить на две составляющие, одна из которых, b_i², называется специфичностью, а другая, е_i², является дисперсией, обусловленнойошибкой, то есть является случайной, вызванной ошибками при организации измерений и неточностью наблюдений. Специфичность b_i² является той долей единичной дисперсии переменной, которая не связана с общими факторами, не может быть также сведена к ошибке и присуща лишь одной определенной переменной. Специфичность и общность образуют надежность r_i² ( reliability ). Надежность дополняет дисперсию ошибки до единицы. Общность не превышает надежности и равна ей только в случае нулевой специфичности.

 

Единичная (полная) дисперсия (по переменной i) s^2=1 = 100%
Общность hi^2	Характерность ui^2
аi1^2	аi2^2	………………….	аi n^2	Специфичность bi^2	Дисперсия ошибки еi^2
Надежность ri^2	еi^2

 

Рис 9. Составляющие полной дисперсии

Общая дисперсия или дисперсия общих факторов составляет ядро факторного анализа. Она может состоять из n компонентов – по числу общих факторов.

В связи с общей дисперсией и общими факторами вспомним о таком важном для факторного анализа понятии как факторная нагрузка (которую Тэрстоун называет такжекоэффициентом теста).

Факторная нагрузка – это мера «наполнения» переменной (теста) определенным фактором, мера, в соответствии с которой данный тест требуют для своего выполнения данного фактора, т. е. данного свойства или данной способности.

Факторная нагрузка – это коэффициент корреляции между данным тестом (переменной) и фактором. Чем выше эта корреляция, тем в большей степени, тест «наполнен» данным фактором и тем в большей степени является мерой этого фактора.

В терминах дисперсии факторная нагрузка интерпретируется следующим образом: квадрат каждой факторной нагрузки будет составлять ту долю общей дисперсии теста, которую можно приписать фактору, а сумма квадратов факторных нагрузок каждой строки редуцированной факторной матрицы равна общности данного теста (переменной).